Fakultet – räkna ut n!

Vad är fakultet?

Fakulteten av ett positivt heltal $n$ skrivs $n!$ och är produkten av alla heltal från 1 upp till $n$:

$n!=1·2·3·...·n$

Till exempel är $5!=1·2·3·4·5=120$ och $10!=\mathrm{3 628 800}$. Talet läses "n fakultet". Fakultet hör till kombinatoriken, där den svarar på frågan hur många sätt det finns att ställa $n$ olika saker i ordning.

Varför fakultet räknar ordningar

Tänk dig fem böcker som ska ställas på en hylla. Till första platsen kan du välja vilken som helst av de fem. Till andra platsen finns fyra kvar, sedan tre, två och till sist en. Enligt multiplikationsprincipen blir antalet ordningar $5·4·3·2·1=120$. Det är precis $5!$. Den här tankegången är grunden för permutationer, och genom att dela bort ordningarna får man kombinationer.

Ur definitionen följer att varje fakultet är föregående gånger talet självt: $n!=n·(n-1)!$. Det gör det enkelt att räkna uppåt i en tabell, och kalkylatorn visar fakulteterna närmast ditt tal.

Varför är 0! = 1?

Det kan verka konstigt att $0!=1$ och inte 0. Det finns tre sätt att se det. För det första finns det precis ett sätt att ordna ingenting: att inte göra något. För det andra ger sambandet $n!=n·(n-1)!$ med $n=1$ att $1!=1·0!$, och eftersom $1!=1$ måste $0!=1$. För det tredje skulle formeln för kombinationer annars inte fungera: $C(n,n)=\frac{n!}{n!·0!}$ ska bli 1, eftersom det finns ett sätt att välja allt.

Fakultet definieras i skolan bara för heltal som är 0 eller större. Negativa tal har ingen fakultet. Det finns en utvidgning till decimaltal, gammafunktionen, men den tas upp först på högre nivåer.

Fakultet växer snabbt

Fakultet växer snabbare än potenser som $2^n$ eller ${10}^n$. $20!$ är redan ungefär $\mathrm{2,4}·{10}^{18}$, och $52!$, antalet sätt att blanda en kortlek, har 68 siffror. Det är så många att varje ordentligt blandad kortlek med största sannolikhet ligger i en ordning som ingen kortlek någonsin har haft. $100!$ har 158 siffror. Många räknare klarar inte mer än $69!$, eftersom $70!$ är större än ${10}^{100}$. Kalkylatorn räknar exakt med heltal och klarar upp till 2 000!. Hur grundpotensform fungerar förklarar kalkylatorn för grundpotensform.

Nollor på slutet

En nolla på slutet uppstår för varje faktor 10, alltså varje par av 2 och 5. Tvåor finns det gott om, så det är femmorna som bestämmer. Räkna hur många tal upp till $n$ som är delbara med 5, lägg till de som är delbara med 25 eftersom de bidrar med en femma till, sedan 125 och så vidare. För $100!$ blir det $20+4=24$ nollor, och kalkylatorn visar 24. Uppdelningen i primfaktorer kan du utforska i primtalsfaktoriseringen.

Stirlings formel

För stora $n$ finns ett närmevärde som brukar kallas Stirlings formel: $n!\approx \sqrt{2\pi n}·(\frac{n}{e}{)}^n$. Den är användbar när man vill uppskatta storleken utan att räkna ut hela produkten. Felet blir mindre och mindre i procent ju större $n$ är. För $10!$ blir närmevärdet 3,599 · 10^6 (0,83 % för lågt), och för $100!$ 9,325 · 10^157 (0,0833 % för lågt). Formeln bygger på potenser och rötter, som potenskalkylatorn kan hjälpa till med.

Vanliga fel

• Att tro att $0!=0$. Det är 1.
• Att räkna $\left(2n\right)!$ som $2·n!$. $(2·3)!=720$, men $2·3!=12$.
• Att räkna ut stora fakulteter för sig och sedan dela. $\frac{50!}{48!}$ är bara $50·49=2450$. Förkorta först.
• Att glömma att utropstecknet bara gäller talet närmast före. $3+2!$ är 5, inte 120.

Typiska uppgifter

På hur många sätt kan 6 personer ställa sig i kö? Svaret är $6!=720$. Hur många olika startordningar finns för 8 löpare på en bana? $8!=\mathrm{40 320}$. En vanlig uppgift ber dig förenkla ett uttryck som $\frac{12!}{10!}$. Skriv $12!=12·11·10!$ och förkorta, så blir svaret $12·11=132$.

En klassisk variant är bordsplacering kring ett runt bord. Sitter 6 personer runt ett bord och det bara spelar roll vem som sitter bredvid vem, räknas alla vridningar av samma placering som en. Då låser man en person på en plats och ordnar de övriga fem: $5!=120$ placeringar i stället för $6!=720$. Får dessutom spegelvända placeringar räknas som samma, delar man med 2 och får 60.

Fakultet förekommer också i sannolikhetsfördelningar. Binomialfördelningen använder den via kombinationer, och Poissonfördelningen har $k!$ i nämnaren.

Fakultet i vardagen

Fakultet dyker upp så fort något ska ordnas: sittplatser runt ett bord, ordningen på låtar i en spellista eller startordningen i en tävling. Tio låtar kan spelas i 3 628 800 olika ordningar. Inom datavetenskap mäts hur svårt ett problem är ibland i hur snabbt antalet möjligheter växer, och fakultet växer så snabbt att det snart blir omöjligt att pröva alla. Hur stora tal datorer kan lagra visar bitvärdeskalkylatorn.

Så gör du på räknaren

• De flesta räknare har en x!-funktion, ofta under SHIFT eller i en meny för sannolikhet. Skriv talet och sedan x!.
• Ger räknaren felmeddelande är talet för stort, oftast från 70! och uppåt.
• För kvoter av fakulteter: förkorta för hand innan du slår in något.

Fler kalkylatorer om urval och ordning finns bland kalkylatorerna för sannolikhet och kombinatorik och på matematiksidan.