Olikheter

En olikhet liknar en ekvation men använder tecknen större än, mindre än eller deras varianter med lika med. Där ekvationen 2x + 1 = 7 har den enda lösningen x = 3, har olikheten 2x + 1 > 7 oändligt många: alla tal större än 3.

Svaret är därför inte ett tal utan en lösningsmängd, ett helt intervall på tallinjen. Metoden är i övrigt densamma som för ekvationer — med ett viktigt undantag som behandlas nedan. Vanlig ekvationslösning gör du i vår ekvationslösare.

• Addera eller subtrahera samma tal på båda sidor — olikhetstecknet står kvar.
• Multiplicera eller dividera med ett positivt tal — olikhetstecknet står kvar.
• Multiplicera eller dividera med ett negativt tal — olikhetstecknet MÅSTE vändas.
• Tecknen > och < ger öppna intervall; ≥ och ≤ inkluderar gränsvärdet.
• Lösningen skrivs som x > tal, eller med intervallnotation.

1. Olikheten är 3x + 4 > x + 12.
2. Samla x-termerna: subtrahera x från båda sidor och få 2x + 4 > 12.
3. Samla talen: subtrahera 4 från båda sidor och få 2x > 8.
4. Dividera med 2, som är positivt — tecknet står kvar: x > 4.
5. Kontroll: testa x = 5 i originalet — 19 > 17 stämmer. Testa x = 3 — 13 > 15 stämmer inte. Gränsen ligger rätt.

Kontrollmetoden är värd att göra varje gång: välj ett tal i lösningsmängden och ett utanför, och sätt in båda i den ursprungliga olikheten. Ett teckenfel avslöjas direkt, eftersom då stämmer fel sida av gränsen. Undvik att testa med gränsvärdet självt — vid strikt olikhet ger det ingen information alls om vilken sida som är rätt.

Olikheten −2x > 6 löses genom division med −2. Eftersom talet är negativt måste olikhetstecknet vändas, och svaret blir x < −3 — inte x > −3.

Varför? Tänk på tallinjen: 2 är mindre än 5, men −2 är större än −5. Multiplikation med ett negativt tal speglar alla tal kring nollan, och då byter ordningsförhållandet håll. Kontrollera med ett värde: x = −4 ger −2 · (−4) = 8, vilket är större än 6 — alltså stämmer x < −3. Samma spegling förklarar varför regeln gäller vid multiplikation lika väl som vid division.

• Att glömma vända tecknet vid division eller multiplikation med ett negativt tal — det enskilt vanligaste felet.
• Att vända tecknet i onödan, till exempel vid subtraktion av ett negativt tal.
• Att skriva svaret som ett tal i stället för som en mängd: svaret är x > 4, inte x = 4.
• Att blanda ihop öppna och slutna gränser — strikt olikhet inkluderar aldrig gränsvärdet.
• Att kontrollera med ett tal som ligger på gränsen i stället för tydligt inuti eller utanför.
• Att multiplicera bort en nämnare med okänt tecken, eftersom man då inte vet om tecknet ska vändas.

Enkla olikheter introduceras i årskurs 9 och behandlas systematiskt i gymnasiets Matematik 1a, 1b och 1c. I Matematik 2 tillkommer andragradsolikheter, som löses genom att först hitta nollställena med pq-formeln och sedan avgöra tecknet i varje intervall.

Just teckenvändningen är den mest poängkostande detaljen på prov. Ett bra sätt att slippa den helt är att flytta över x-termerna så att koefficienten blir positiv innan divisionen — då uppstår situationen aldrig. Metoden kräver ett extra överflyttningssteg men eliminerar hela felkällan, och den fungerar för alla linjära olikheter oavsett hur koefficienterna ser ut.

Vanliga räknare löser inte olikheter. Vägen dit går via ekvationen: lös motsvarande likhet för att hitta gränsvärdet, och avgör sedan vilken sida som gäller genom att testa ett tal. Metoden fungerar för alla olikheter, även andragradsolikheter, och den är dessutom den som förväntas redovisas på prov.

Grafräknare kan visa lösningen visuellt: rita båda leden som funktioner och se var den ena ligger över den andra. Skärningspunkten är gränsvärdet, och den ekvationen löser du i vår kalkylator för ekvationssystem. Den grafiska bilden gör dessutom teckenvändningen begriplig — vid negativ lutning ligger linjen över den andra på motsatt sida om skärningen.

Villkor och gränser uttrycks nästan alltid som olikheter. Hur många timmar måste du jobba för att komma över ett visst belopp? Vid vilken förbrukning blir ett elavtal billigare än ett annat? Hur mycket kan lasten väga utan att överskrida totalvikten? I alla tre fallen är svaret ett intervall, inte ett enskilt tal, och gränsen är den punkt där de två alternativen är likvärdiga.

Inom ekonomi anger de lönsamhetsgränser och budgettak, och i teknik toleranser som ett mätvärde måste hålla sig inom. Att räkna ut var två alternativ kostar lika mycket — själva gränsen — är samma sak som att lösa motsvarande ekvation, vilket du gör i vår hubb för algebra och ekvationer. Procentuella gränsvärden räknar du i sin tur i procentkalkylatorerna.

En ekvation har normalt ett bestämt antal lösningar; en olikhet har en hel lösningsmängd. Räknereglerna är identiska med ett undantag: multiplikation och division med negativa tal vänder olikhetstecknet, medan en ekvation är opåverkad. Det gör olikheter något mer felkänsliga trots att metoden i övrigt är densamma.

Sambandet är ändå nära: gränsen för olikheten är precis lösningen till motsvarande ekvation. Löser du 3x + 4 = x + 12 får du x = 4, vilket är exakt gränsen i olikheten ovan. Ekvationen ger punkten, olikheten ger riktningen — hela ämnesöversikten hittar du i matematikhubben.