Kon – volym, mantelarea och sida

Konens formler

En kon har en cirkulär botten och en spets rakt ovanför bottens mittpunkt. Måtten som behövs är radien $r$, höjden $h$ och sidan $s$, som också kallas generatris. Radien, höjden och sidan bildar en rätvinklig triangel, så de hänger ihop genom Pythagoras sats: $s^2=r^2+h^2$.

• Volym: $V=\frac{\pi r^{2}h}{3}$
• Mantelarea: $M=\pi rs$
• Total ytarea: $A=\pi r^2+\pi rs$

Volymen är exakt en tredjedel av en cylinder med samma botten och höjd. Samma tredjedel gäller för en pyramid jämfört med ett rätblock. Tvärsnittets area krymper i kvadrat mot spetsen, och summerat över hela höjden blir det exakt en tredjedel. Det kan visas med integraler på gymnasiet.

Exempel: radie 3 och höjd 4

Med radien 3 cm och höjden 4 cm blir sidan $\sqrt{3^2+4^2}$ = 5 cm. Volymen blir $\frac{\pi ·9·4}{3}$ ≈ 37,7 cm³, mantelarean $\pi ·3·5$ ≈ 47,12 cm² och den totala ytarean 75,4 cm². Sidan lutar 53,13° mot botten.

Exempel: grushög och strut

En grushög eller sandhög har ungefär formen av en kon. En hög med 3 meters diameter och 1 meters höjd innehåller 2,36 m³. Hur mycket det väger och kostar räknar gruskalkylatorn ut. En glassstrut med 7 cm diameter och 12 cm höjd rymmer 153,94 cm³, ungefär 1,5 dl.

Mantelytan som cirkelsektor

Klipp upp manteln längs sidan och vik ut den, så blir den en cirkelsektor med radien $s$. Sektorns båglängd är lika lång som bottens omkrets, $2\pi r$. Det ger formeln $M=\pi rs$ och är så man ritar ett mönster för en strut eller en konisk lampskärm. Mantelareakalkylatorn visar den utvikta formen.

Konen i skolan

Konens volym tas upp på högstadiet, oftast tillsammans med pyramiden, eftersom båda har faktorn en tredjedel. Mantelarean är en klassisk uppgift där sidan först räknas ut med Pythagoras sats i triangeln mellan radie, höjd och sida.

Så gör du på räknaren

• Sidan: √(3 x² + 4 x²) = ger 5.
• Volym: π × 3 x² × 4 ÷ 3 =.
• Mantelarea: π × 3 × 5 =.
• Vinkel mot botten: SHIFT tan (4 ÷ 3) = med räknaren i grader.

Fler kroppar finns bland kalkylatorerna för volym och ytarea och på matematiksidan.