Integral

Skriv in en funktion f(x) och få den primitiva funktionen F(x) med alla steg. Kalkylatorn visar vilken regel som används för varje term, kan bestämma konstanten C ur ett villkor och ritar f och F i samma graf.

Gratis att användaIngen registreringUppdaterad 2026

Funktion

Skriv f(x) som du vill hitta en primitiv funktion till

f(x) =

Skriv till exempel 4x^3 - x + 2, 1/x, e^(2x), 3^x, sin(2x), sqrt(x) eller ln(x). Vinklar i radianer. Skriv exponenter med parentes: e^(2x), inte e^2x.

Beräkningen är en vägledande uppskattning baserad på de uppgifter du anger. Resultatet kan skilja sig från verkligt utfall beroende på individuella förutsättningar, lokala regler, priser, materialval och andra omständigheter. Kontrollera alltid viktiga uppgifter innan du fattar beslut eller påbörjar ett arbete.

Rapportera fel

Annons

Vad är en primitiv funktion?

En primitiv funktion är derivatans motsats. Om F′(x) = f(x) kallas F en primitiv funktion till f. När du deriverar $x^{3}$ får du $3 x^{2}$ , alltså är $x^{3}$ en primitiv funktion till $3 x^{2}$ . Att hitta den primitiva funktionen kallas att integrera, och resultatet skrivs ofta som en obestämd integral med tecknet ∫.

Det finns inte bara en primitiv funktion utan oändligt många. $x^{3}$ , $x^{3} + 5$ och $x^{3} - 12$ har alla derivatan $3 x^{2}$ , eftersom en konstant försvinner när man deriverar. Därför skriver man alltid + C, där C står för en godtycklig konstant. Vill du gå åt andra hållet och derivera finns derivatakalkylatorn.

Integrationsreglerna

Varje regel kommer direkt ur en deriveringsregel som läses baklänges. Kalkylatorn använder de här:

Potensregeln: $\int x^{n} dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ när n inte är −1. Öka exponenten med 1 och dela med den nya exponenten.
Konstant: $\int k dx = kx + C$ .
Ett delat med x: $\int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C$ . Det är undantaget från potensregeln, eftersom n = −1 skulle ge division med 0.
Exponentialfunktion: $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C$ och $\int a^{x} dx = \frac{a^{x}}{\ln (a)} + C$ .
Sinus och cosinus: $\int \sin (kx) dx = - \frac{1}{k} \cos (kx) + C$ och $\int \cos (kx) dx = \frac{1}{k} \sin (kx) + C$ .
Logaritm: $\int \ln (x) dx = x \cdot \ln (x) - x + C$ , som man får med partiell integration.
Summor och konstanter: integrera term för term, och låt en konstant faktor följa med.

Står det en inre linjär funktion, som 3x + 1 i stället för x, gäller samma regel men svaret delas med koefficienten framför x. Det är kedjeregeln baklänges. Potensregeln bygger på samma räkneregler som potenskalkylatorn visar, till exempel att $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ och $\frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$ .

Exempel: ett polynom

Funktionen $f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$ integreras term för term. $3 x^{2}$ blir $x^{3}$ , $2 x$ blir $x^{2}$ och konstanten −5 blir −5x. Kalkylatorn ger $F (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + C$ . Ett annat exempel: $4 x^{3} - 6 x + 2$ ger $F (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + C$ .

Exempel: e, sinus och 1/x

För $e^{2 x}$ ger regeln $F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ . Faktorn en halv behövs eftersom derivatan av $e^{2 x}$ är $2 e^{2 x}$ , och den tvåan måste tas bort. På samma sätt ger $\sin (3 x)$ $F (x) = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ . Minustecknet kommer av att derivatan av cos är −sin. För $\frac{1}{x}$ blir svaret $F (x) = \ln | x | + C$ . Absolutbeloppet gör att svaret gäller även för negativa x.

Att bestämma konstanten C

Många uppgifter ger ett villkor, till exempel att F(1) = 2. Sätt in x = 1 i den primitiva funktionen och lös ut C. För $3 x^{2} + 2 x - 5$ är F(1) utan konstant 1 + 1 − 5 = −3, så C = 2 − (−3) = 5. Kalkylatorn ger då $F (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 5$ . Slå på villkoret i kalkylatorn så räknas C ut automatiskt.

Annons

Kontrollera alltid genom att derivera

Det säkraste sättet att se om en primitiv funktion stämmer är att derivera den. Du ska få tillbaka f. Kalkylatorn gör den kontrollen numeriskt i flera punkter och visar resultatet i rutan Kontroll. Gör det till en vana på prov också, eftersom ett tappat tecken eller en glömd division syns direkt när du deriverar.

Vanliga fel

Att glömma + C. Utan konstanten anger du bara en av alla primitiva funktioner.
Att använda potensregeln på 1/x. Den ger division med noll, och rätt svar är ln|x|.
Att glömma att dela med k när det står en inre funktion, till exempel att skriva $e^{2 x}$ i stället för $\frac{1}{2} e^{2 x}$ .
Fel tecken för sinus. Den primitiva funktionen till sin x är −cos x, inte cos x.
Att integrera en produkt faktor för faktor. $\int x \cdot e^{x} dx$ är inte $\frac{x^{2}}{2} \cdot e^{x}$ . Produkter kräver partiell integration.

Typiska uppgifter

Bestäm en primitiv funktion till f. Skriv om rötter och bråk som potenser, integrera term för term och lägg till C.
Bestäm den primitiva funktion som går genom en viss punkt. Integrera, sätt in punkten och lös ut C.
Visa att F är en primitiv funktion till f. Derivera F och jämför med f.
Beräkna en integral mellan två gränser. Hitta F och räkna F(b) − F(a), vilket du kan göra med bestämd integral.

När hittar kalkylatorn ingen primitiv funktion?

Kalkylatorn klarar summor av polynom, potenser av x (även rötter som $\sqrt{x}$ och $x \cdot \sqrt{x}$ ), $e^{kx + m}$ , $a^{kx + m}$ , sin, cos och ln av en linjär funktion samt potenser av en linjär funktion som $(2 x + 1)^{3}$ och $\frac{1}{3 x - 1}$ . Produkter som $x \cdot e^{x}$ , kvoter som $\frac{x}{x + 1}$ och sammansättningar som $e^{x^{2}}$ ger ett ärligt besked i stället för en gissning. Vissa funktioner, till exempel $e^{x^{2}}$ , saknar helt en primitiv funktion som går att skriva med vanliga funktioner. Ett värde mellan två gränser kan du ändå räkna ut numeriskt med bestämd integral eller trapetsregeln.

Var används integraler?

Integraler summerar något som ändras hela tiden. Känner du hastigheten som funktion av tiden ger integralen sträckan. Känner du effekten ger integralen energin. Geometriskt är en bestämd integral arean under en kurva, vilket generaliserar formlerna i areakalkylatorn till krökta former. Själva definitionen av integralen bygger på ett gränsvärde, där man summerar allt smalare rektanglar under kurvan.

Så gör du på räknaren

En vanlig miniräknare kan inte ta fram en primitiv funktion som formel. Många grafräknare och miniräknare har däremot en funktion för bestämda integraler, där du anger funktionen och två gränser och får ett närmevärde. Använd den för att kontrollera ditt svar: räkna F(b) − F(a) med din primitiva funktion och jämför med räknarens värde. Räknare med symbolisk algebra (CAS) kan ge den primitiva funktionen direkt.

Fler kalkylatorer för derivator, integraler och gränsvärden finns bland kalkylatorerna för analys och på matematiksidan.

Annons

Vanliga frågor

Vad är skillnaden mellan integral och primitiv funktion?

Den primitiva funktionen F är en funktion vars derivata är f. En obestämd integral skrivs ∫ f(x) dx och betyder alla primitiva funktioner, alltså F(x) + C. En bestämd integral mellan a och b är ett tal, F(b) − F(a). Det räknar kalkylatorn för bestämd integral ut.

Varför skriver man + C?

Konstanter försvinner när man deriverar. x² och x² + 7 har båda derivatan 2x, så båda är primitiva funktioner till 2x. C visar att vilken konstant som helst går bra.

Vad är den primitiva funktionen till 1/x?

ln|x| + C. Potensregeln fungerar inte här, eftersom exponenten −1 skulle ge division med noll. Absolutbeloppet gör att svaret gäller både för positiva och negativa x.

Hur kontrollerar jag att svaret stämmer?

Derivera den primitiva funktionen. Får du tillbaka den ursprungliga funktionen är svaret rätt. Derivatakalkylatorn visar deriveringen steg för steg.

Vad är den primitiva funktionen till e^(2x)?

½e^(2x) + C. När det står en konstant k framför x i exponenten delar man med k, eftersom derivatan av e^(kx) är k·e^(kx).

Hur bestämmer man C?

Sätt in villkoret i den primitiva funktionen. Om F(x) = x³ + x² − 5x + C och F(1) = 2 får du 1 + 1 − 5 + C = 2, alltså C = 5.

← Fler kalkylatorer inom Analys

Relaterade kalkylatorer

Newton–Raphsons metod

Lös f(x) = 0 numeriskt med tangenter, steg för steg.

Beräkna

Trapetsregeln

Närmevärde för integraler med trapets, mittpunkt och Simpson.

Beräkna

Tangent

Tangentens och normalens ekvation i en punkt på grafen.

Beräkna

Andraderivata

Andraderivatan, inflexionspunkter och var grafen böjer uppåt.

Beräkna

Ändringskvot

Genomsnittlig förändring Δy/Δx ur punkter, funktion eller tabell.

Beräkna

Extrempunkter

Max, min och terrasspunkter med derivata och teckenschema.

Beräkna

Upptäck fler kalkylatorer

Moms baklänges kalkylator

Räkna ut momsen baklänges från ett pris inkl. moms.

Öppna

Kompostkalkylator

Beräkna rätt kompoststorlek för ditt hushåll och din tomtstorlek.

Öppna

Sinussatsen – räkna ut sida eller vinkel

Räkna ut en okänd sida eller vinkel i en triangel med sinussatsen, med varning för två lösningar.

Öppna

Primtalsfaktorisering – dela upp ett tal i primtal

Dela upp ett tal i primtalsfaktorer, med divisionstrappa och alla delare.

Öppna

Multiplicera bråk

Multiplicera bråk direkt — täljare gånger täljare, nämnare gånger nämnare. Se varje steg i uträkningen.

Öppna

Talserie

Summan Σ eller produkten Π av en talserie, och oändliga serier.

Öppna

Vad är en primitiv funktion?

Integrationsreglerna

Varje regel kommer direkt ur en deriveringsregel som läses baklänges. Kalkylatorn använder de här:

Potensregeln: $\int x^{n} dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ när n inte är −1. Öka exponenten med 1 och dela med den nya exponenten.
Konstant: $\int k dx = kx + C$ .
Ett delat med x: $\int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C$ . Det är undantaget från potensregeln, eftersom n = −1 skulle ge division med 0.
Exponentialfunktion: $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C$ och $\int a^{x} dx = \frac{a^{x}}{\ln (a)} + C$ .
Sinus och cosinus: $\int \sin (kx) dx = - \frac{1}{k} \cos (kx) + C$ och $\int \cos (kx) dx = \frac{1}{k} \sin (kx) + C$ .
Logaritm: $\int \ln (x) dx = x \cdot \ln (x) - x + C$ , som man får med partiell integration.
Summor och konstanter: integrera term för term, och låt en konstant faktor följa med.

Exempel: ett polynom

Exempel: e, sinus och 1/x

Att bestämma konstanten C

Annons

Kontrollera alltid genom att derivera

Vanliga fel

Att glömma + C. Utan konstanten anger du bara en av alla primitiva funktioner.
Att använda potensregeln på 1/x. Den ger division med noll, och rätt svar är ln|x|.
Att glömma att dela med k när det står en inre funktion, till exempel att skriva $e^{2 x}$ i stället för $\frac{1}{2} e^{2 x}$ .
Fel tecken för sinus. Den primitiva funktionen till sin x är −cos x, inte cos x.
Att integrera en produkt faktor för faktor. $\int x \cdot e^{x} dx$ är inte $\frac{x^{2}}{2} \cdot e^{x}$ . Produkter kräver partiell integration.

Typiska uppgifter

Bestäm en primitiv funktion till f. Skriv om rötter och bråk som potenser, integrera term för term och lägg till C.
Bestäm den primitiva funktion som går genom en viss punkt. Integrera, sätt in punkten och lös ut C.
Visa att F är en primitiv funktion till f. Derivera F och jämför med f.
Beräkna en integral mellan två gränser. Hitta F och räkna F(b) − F(a), vilket du kan göra med bestämd integral.

När hittar kalkylatorn ingen primitiv funktion?

Var används integraler?

Så gör du på räknaren

Fler kalkylatorer för derivator, integraler och gränsvärden finns bland kalkylatorerna för analys och på matematiksidan.