Bestämd integral

Vad är en bestämd integral?

En bestämd integral ${\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{dx}$ är ett tal som mäter den sammanlagda ytan mellan kurvan y = f(x) och x-axeln, från x = a till x = b. Delar ovanför x-axeln räknas positivt och delar under räknas negativt. Är hela kurvan ovanför axeln är integralen precis arean under kurvan.

Integralen räknas med analysens huvudsats: hitta en primitiv funktion F och räkna $F\left(b\right)-F\left(a\right)$. Konstanten C behövs inte, eftersom den tar ut sig själv i subtraktionen. Hur man hittar F visar integralkalkylatorn, och huvudsatsen bygger på att F′ = f, se derivatakalkylatorn.

Varför blir det F(b) − F(a)?

Tänk dig att du delar ytan under kurvan i många smala rektanglar med bredden Δx. Varje rektangel har ungefär arean f(x) · Δx, och summan av alla rektanglar närmar sig integralen när rektanglarna blir smalare. Det är definitionen av integralen.

Tänk dig sedan en funktion A(x) som anger arean från a fram till x. När x ökar en liten bit Δx växer arean med ungefär f(x) · Δx. Förändringen delat med Δx blir då f(x), vilket betyder att derivatan av A är f. A är alltså en primitiv funktion till f, och eftersom A(a) = 0 blir arean fram till b lika med F(b) − F(a) för vilken primitiv funktion F som helst. Det sambandet mellan derivata och integral kallas analysens huvudsats, och det är därför man aldrig behöver summera rektanglar för hand när en primitiv funktion finns.

Exempel: arean under en parabel

Ytan under $f\left(x\right)=3x^2$ från x = 1 till x = 2: den primitiva funktionen är $x^3$, så integralen blir $2^3-1^3=8-1=$ 7. Ytan under bågen $4-x^2$ mellan nollställena −2 och 2 blir 32/3, alltså ungefär 10,67 areaenheter. Parabeln och dess nollställen kan du undersöka närmare med parabelkalkylatorn.

Integral eller area?

Integralen och arean är samma sak bara när kurvan ligger ovanför x-axeln i hela intervallet. Med standardvärdena, $x^2-1$ från 0 till 2, ligger kurvan under axeln fram till x = 1 och ovanför efter. Integralen blir 2/3, men arean blir 2 areaenheter. Kalkylatorn hittar nollstället och räknar varje del för sig med absolutbelopp. Nollställen kan du också hitta med nollställeskalkylatorn.

Ett tydligt exempel är sinus. Från 0 till π ligger bågen ovanför axeln och integralen blir 2. Från 0 till 2π tar den positiva och den negativa bågen ut varandra, så integralen blir 0, medan arean är 4 areaenheter.

Arean mellan två kurvor

Arean mellan två kurvor är integralen av skillnaden, övre kurvan minus undre. Med $f\left(x\right)=x^2-1$ och $g\left(x\right)=x+1$ möts kurvorna i x = −1 och x = 2. Mellan dem ligger g överst, så integralen av f − g blir −9/2 och arean 9/2 areaenheter, alltså 4,5 areaenheter. Börja alltid med att hitta skärningspunkterna, och kontrollera vilken kurva som ligger överst. Kalkylatorn hanterar båda delarna automatiskt.

När det inte finns någon primitiv funktion

Vissa funktioner, till exempel $e^{x^2}$, har ingen primitiv funktion som går att skriva med vanliga funktioner. Integralen finns ändå och kan räknas numeriskt. Kalkylatorn använder då en adaptiv variant av Simpsons regel som delar intervallet i allt mindre bitar tills svaret inte längre ändras. För $e^{x^2}$ från 0 till 1 blir resultatet ≈ 1,46265. Hur sådana närmevärden fungerar förklaras i trapetsregeln.

Vanliga fel

• Att räkna F(a) − F(b) i stället för F(b) − F(a). Övre gränsen ska stå först.
• Att tro att integralen alltid är en area. En negativ integral betyder att mer av ytan ligger under x-axeln.
• Att missa ett nollställe inne i intervallet när uppgiften frågar efter arean. Dela upp integralen vid nollställena.
• Att glömma parenteser när en negativ gräns sätts in: F(−2) med $x^3$ blir $(-2{)}^3=-8$.
• Att integrera över en punkt där funktionen inte är definierad, som 1/x från −1 till 1. Där är integralen inte definierad på vanligt sätt.

Typiska uppgifter

1. Beräkna integralen exakt. Hitta F, sätt in gränserna och förenkla.
2. Beräkna arean som begränsas av kurvan och x-axeln. Hitta nollställena, integrera varje del och lägg ihop absolutbeloppen.
3. Beräkna arean mellan två kurvor. Lös f(x) = g(x) för gränserna och integrera övre minus undre.
4. Bestäm a så att integralen får ett visst värde. Skriv F(b) − F(a) som ett uttryck i a och lös ekvationen.

Tillämpningar

En integral summerar något som ändras över tid eller längs en sträcka. Integralen av en hastighet ger sträckan, och integralen av en effekt ger energin. Solpaneler producerar till exempel olika mycket under dagen, och den totala energin är integralen av effekten. Hur mycket solceller kan ge över ett år räknar kalkylatorn för solcellsproduktion ut. Geometriskt utvidgar integralen formlerna för raka former i areakalkylatorn till områden med krökta kanter.

Så gör du på räknaren

Många grafräknare och vissa vanliga miniräknare har en integralfunktion där du skriver in funktionen och de två gränserna. Svaret är ett numeriskt närmevärde. Använd det för att kontrollera ditt exakta svar: räkna F(b) − F(a) för hand och jämför. Kontrollera också att räknaren står i radianer om funktionen innehåller sin eller cos.

Fler kalkylatorer för derivator, integraler och gränsvärden finns bland kalkylatorerna för analys och på matematiksidan.