Derivata

Vad är derivata?

Derivatan beskriver hur snabbt en funktion ändras. I varje punkt på grafen anger derivatan lutningen, alltså hur många steg grafen går upp eller ned för varje steg åt höger. Derivatan skrivs f′(x) och utläses "f prim av x". Är f′(x) positiv växer funktionen där, är den negativ avtar funktionen, och är den 0 är grafen för ett ögonblick vågrät.

Med kalkylatorns standardexempel $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$ blir derivatan $f\prime \left(x\right)=3x^2-12x+9$. I x = 2 är derivatan −3, så grafen lutar nedåt där. Lutningen i en punkt är samma sak som lutningen hos tangenten, den räta linje som nuddar grafen i punkten. Tangentens ekvation räknar tangentkalkylatorn ut.

Derivatans definition

Derivatan bygger på ändringskvoten, som mäter den genomsnittliga lutningen mellan två punkter på grafen. Mellan x = a och x = a + h är ändringskvoten $\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$. Låter man h bli mindre och mindre kommer de två punkterna närmare varandra, och kvoten närmar sig lutningen i själva punkten. Derivatan är gränsvärdet av ändringskvoten när h går mot 0. Mer om ändringskvoten finns i ändringskvotskalkylatorn och om gränsvärden i gränsvärdeskalkylatorn.

Välj läget "Derivatans definition" för att se det i siffror. För $f\left(x\right)=x^2$ i x = 3 blir kvoten 7 med h = 1, 6,1 med h = 0,1 och 6,001 med h = 0,001. Den närmar sig 6, som är derivatan. Med deriveringsreglerna får man samma sak direkt: $f\prime \left(x\right)=2x$, och $2·3=6$.

Deriveringsreglerna

I praktiken deriverar man med regler i stället för gränsvärden. Reglerna är härledda ur definitionen en gång för alla, och sedan kan de kombineras för att derivera nästan vilken funktion som helst.

• Konstant: derivatan av ett tal är 0, eftersom en vågrät linje inte lutar.
• Potensregeln: $\left(x^n\right)\prime =n·x^{n-1}$. Exempel: $\left(x^5\right)\prime =5x^4$. Regeln gäller även för negativa tal och bråk som exponent, till exempel $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.
• Konstant faktor följer med: $\left(5x^3\right)\prime =5·3x^2=15x^2$.
• Summa: derivera term för term.
• Exponentialfunktioner: $\left(e^x\right)\prime =e^x$ och $\left(a^x\right)\prime =a^x·\ln \left(a\right)$.
• Logaritmer: $\left(\ln \right(x\left)\right)\prime =\frac{1}{x}$.
• Trigonometri: $\left(\sin \right(x\left)\right)\prime =\cos \left(x\right)$ och $\left(\cos \right(x\left)\right)\prime =-\sin \left(x\right)$, med vinkeln i radianer.

Produktregeln och kvotregeln

När två funktioner multipliceras gäller produktregeln: $(u·v)\prime =u\prime ·v+u·v\prime$. För $f\left(x\right)=x·\sin \left(x\right)$ är u = x och v = sin x, och derivatan blir $\sin \left(x\right)+x·\cos \left(x\right)$. En vanlig miss är att bara multiplicera derivatorna, men $1·\cos \left(x\right)$ blir fel.

Vid division används kvotregeln: $\left(\frac{u}{v}\right)\prime =\frac{u\prime ·v-u·v\prime }{v^2}$. För $f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}$ blir derivatan $-\frac{2}{(x-1{)}^2}$, och i x = 3 är den −0,5. Ordningen i täljaren spelar roll, eftersom det är en subtraktion.

Kedjeregeln

Kedjeregeln används när en funktion står inuti en annan, som $e^{2x}$ eller $\sqrt{x^2+9}$. Derivera den yttre funktionen som vanligt och multiplicera med derivatan av den inre. För $e^{2x}$ är den inre derivatan 2, så derivatan blir $2e^{2x}$, och i x = 0 är den 2. För $\sqrt{x^2+9}$ blir derivatan $\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$, och i x = 4 är den 0,8. Kalkylatorn skriver ut vilken regel den använder i varje steg.

Exempel steg för steg

Ta $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$ och derivera term för term. Termen $x^3$ ger $3x^2$, termen $-6x^2$ ger $-12x$, termen 9x ger 9 och konstanten 1 försvinner. Alltså är $f\prime \left(x\right)=3x^2-12x+9$. Sätter man in x = 2 blir det $3·4-24+9$ = −3.

Derivatan säger också var grafen vänder. Ekvationen $3x^2-12x+9=0$ har lösningarna x = 1 och x = 3. Där är grafen vågrät: i x = 1 har funktionen ett lokalt maximum och i x = 3 ett lokalt minimum. Mellan punkterna är derivatan negativ och funktionen avtar, utanför dem är den positiv och funktionen växer.

Grafen till f och f′

Kalkylatorn ritar både funktionen och derivatan. Den blå kurvan är f och den orange är f′. Lägg märke till sambandet: där den blå kurvan går uppåt ligger den orange över x-axeln, och där den blå når en topp eller en dal skär den orange x-axeln. Derivatans graf är alltså en bild av hur brant funktionen är. En brant uppförsbacke i f syns som ett högt värde i f′.

Derivatan kan själv deriveras. Andraderivatan f″ visar hur lutningen ändras, och den avgör om grafen är konvex (böjer uppåt) eller konkav (böjer nedåt). För standardexemplet är $f″\left(x\right)=6x-12$, som byter tecken i x = 2. Där finns en inflexionspunkt.

Vad derivatan används till

Derivatan är verktyget för att hitta största och minsta värden. Där en jämn graf vänder är derivatan 0, så man löser ekvationen f′(x) = 0 och undersöker punkterna. Det gör extrempunktskalkylatorn. Derivatan av derivatan kallas andraderivata och visar om grafen böjer uppåt eller nedåt, se andraderivatakalkylatorn.

I vardagen är derivatan en förändringstakt. Om ett sparande på 1 000 kr växer med 5 % per år är värdet $\mathrm{1 000}·{\mathrm{1,05}}^x$ kronor efter x år. Derivatan efter 10 år är ungefär 79 kr per år, alltså så snabbt pengarna växer just då. Hastighet är derivatan av sträcka med avseende på tid, och acceleration är derivatan av hastigheten.

Derivatan används också för att lösa ekvationer numeriskt. Newton–Raphsons metod följer tangenten ner till x-axeln och kommer på så sätt närmare och närmare en rot, se Newton–Raphson-kalkylatorn. Det omvända till att derivera är att integrera: en primitiv funktion är en funktion vars derivata är den givna. Den räknar integralkalkylatorn ut.

Vanliga fel

• Att glömma inre derivatan i kedjeregeln. $\left(\sin \right(3x\left)\right)\prime$ är $3\cos \left(3x\right)$, inte $\cos \left(3x\right)$.
• Att derivera en produkt faktor för faktor. Använd produktregeln.
• Att tro att derivatan av en konstant är konstanten själv. Den är 0.
• Att skriva om $\frac{1}{x^2}$ fel. Som potens är det $x^{-2}$, och derivatan blir $-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$.
• Att räkna med grader i trigonometriska funktioner. Reglerna $\left(\sin \right(x\left)\right)\prime =\cos \left(x\right)$ gäller bara när vinkeln är i radianer.
• Att blanda ihop f′(a) och f(a). f(a) är var grafen ligger, f′(a) är hur den lutar där.

Typiska uppgifter

1. Derivera ett polynom. Använd potensregeln på varje term och förenkla.
2. Räkna ut f′(a). Derivera först, sätt sedan in x = a i derivatan, inte i funktionen.
3. Bestäm var grafen har lutningen k. Sätt f′(x) = k och lös ekvationen.
4. Bestäm derivatan med definitionen. Skriv upp ändringskvoten, förenkla täljaren så att h kan förkortas bort och låt h gå mot 0.
5. Tolka derivatan i ett sammanhang. Ange alltid enhet, till exempel kronor per år eller meter per sekund.

Derivatan på räknaren

Många grafräknare kan räkna ut derivatans värde i en punkt, men de gör det numeriskt med en mycket liten ändringskvot och ger inte derivatan som formel. Det är bra för att kontrollera ett svar: deriverar du för hand och får f′(2) = −3, ska räknaren ge samma tal. På prov där uträkningen ska visas behövs reglerna, och då är stegen i den här kalkylatorn ett sätt att jämföra din lösning rad för rad.

Ett enkelt sätt att kontrollera en derivata utan räknarfunktion är att räkna ändringskvoten med ett litet h, till exempel 0,001. För $f\left(x\right)=x^2$ i x = 3 blir det $\frac{\mathrm{9,006001}-9}{\mathrm{0,001}}$ = 6,001, som ligger mycket nära den exakta derivatan 6.

Så skriver du funktionen

Skriv multiplikation med * eller ·, eller låt den vara underförstådd som i 3x och 2(x + 1). Potenser skrivs med ^, till exempel x^3 och e^(2x). Funktioner skrivs med parentes: sqrt(x), ln(x), sin(x). Talet π skrivs pi och e är Eulers tal. Decimaltal skrivs med komma, till exempel 1,05.

Fler verktyg för funktioner och förändring finns bland kalkylatorerna för analys och på matematiksidan.