Analys – derivata och integral steg för steg

Vad handlar analys om?

Analys är den del av matematiken som beskriver förändring. Derivatan anger hur snabbt en funktion ändras i en viss punkt, och integralen lägger ihop små bitar till en helhet, till exempel en area under en kurva. Båda bygger på gränsvärden. Kalkylatorerna här tar en funktion som du skriver själv, till exempel x³ − 3x eller e^(2x)·sin x, och räknar symboliskt där det går.

Derivata och förändring

Derivatakalkylatorn ger f′(x) med de deriveringsregler som används: potensregeln, produkt- och kvotregeln och kedjeregeln. Du kan också få derivatans värde i en punkt. Andraderivatan visar var grafen är konvex eller konkav och var inflexionspunkterna ligger. Vill du se hur derivatan växer fram ur ändringar mellan två punkter är ändringskvoten ett bra första steg. Den räknar Δy/Δx med enheter, till exempel km/h, och jämför med derivatan.

Extrempunkter och tangenter

Kalkylatorn för extrempunkter löser f′(x) = 0, gör ett teckenschema och avgör om varje punkt är ett maximum, ett minimum eller en terrasspunkt. På ett slutet intervall ger den också största och minsta värde, med ändpunkterna inräknade. Tangentkalkylatorn ger tangentens och normalens ekvation i en punkt och ritar dem tillsammans med grafen.

Gränsvärden

Gränsvärdeskalkylatorn räknar vad f(x) går mot när x närmar sig ett tal eller oändligheten. Den förkortar rationella uttryck, använder l'Hôpitals regel vid 0/0 och ∞/∞ och visar en tabell med värden från vänster och höger. När svaret bara går att uppskatta numeriskt står det tydligt.

Integraler och area

• Integral: primitiv funktion F(x) + C för polynom, potenser, e^x, sin, cos, 1/x och liknande standardformer, med en kontroll genom derivering.
• Bestämd integral: integralens värde mellan två gränser, exakt när en primitiv funktion finns och annars numeriskt. Kalkylatorn skiljer på integralens värde och den geometriska arean, och klarar area mellan två kurvor.
• Trapetsregeln: numerisk integration med trapets-, mittpunkts- och Simpsons regel, jämförda med ett noggrant värde. Fungerar också på mätvärden, till exempel effekt timme för timme.

Numeriska metoder

Alla ekvationer går inte att lösa med en formel. Newton–Raphsons metod närmar sig ett nollställe steg för steg med hjälp av tangenter. Kalkylatorn visar varje iteration i en tabell och säger till om metoden inte konvergerar, till exempel när derivatan blir noll.

Uträkning steg för steg och exakta svar

Kalkylatorerna visar varje regel som används, så att du kan jämföra med din egen lösning. Svaren skrivs exakt när det går, till exempel 2/3, √2, ln 2 eller e, och markeras med ≈ när de är avrundade. Graferna visar funktionen tillsammans med derivatan, tangenten eller den skuggade arean, beroende på vad du räknar på.

Så väljer du rätt kalkylator

• Ska du derivera ett uttryck: derivata.
• Söker du max och min: extrempunkter.
• Behöver du tangentens ekvation: tangent.
• Ska du hitta en primitiv funktion: integral.
• Ska du räkna en area eller ett integralvärde: bestämd integral.
• Har du bara mätvärden: trapetsregeln.

Närliggande områden

Grafer, nollställen och definitionsmängder finns bland kalkylatorerna för funktioner och grafer. Ekvationer och logaritmer hittar du bland kalkylatorerna för algebra och ekvationer. Alla områden samlas på sidan för matematik.