Newton–Raphsons metod

Vad är Newton–Raphsons metod?

Newton–Raphsons metod är ett sätt att hitta ett nollställe till en funktion, alltså lösa en ekvation f(x) = 0, när det inte finns någon formel för svaret. Man börjar med en gissning och förbättrar den steg för steg. Varje steg ger oftast ungefär dubbelt så många korrekta decimaler som det förra, så metoden kommer snabbt fram till ett mycket noggrant svar.

Andragradsekvationer löses enklast med pq-formeln, se kalkylatorn för andragradsekvationer, och nollställen till polynom och andra funktioner hittar nollställeskalkylatorn. Newton–Raphson behövs för ekvationer som cos x = x eller $x^3-x-1=0$, där ingen enkel formel finns.

Formeln och idén

I punkten $(x_n;f(x_n\left)\right)$ drar man tangenten till grafen. Tangenten är en rät linje med lutningen $f\prime \left(x_n\right)$, och där den skär x-axeln ligger oftast en bättre gissning:

$x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f\prime \left(x_n\right)}$

Formeln får man genom att sätta tangentens ekvation $y=f\left(x_n\right)+f\prime \left(x_n\right)(x-x_n)$ lika med 0 och lösa ut x. Tangentens ekvation i en punkt räknar tangentkalkylatorn ut, och derivatan finns i derivatakalkylatorn. Kalkylatorn räknar derivatan numeriskt med en symmetrisk differenskvot, så du behöver bara skriva in f.

Exempel: roten ur 2

Roten ur 2 är nollstället till $x^2-2$. Med startvärdet 1 blir första steget $1-\frac{-1}{2}=\mathrm{1,5}$. Sedan följer 1,41666666667, 1,41421568627 och 1,41421356237. Efter 5 steg ändras inget på tolv värdesiffror, och svaret är 1,4142135624. Jämför med rotkalkylatorn, som ger samma värde. Samma idé fungerar för att räkna ut vilken kvadratrot som helst för hand.

Exempel: ekvationer utan formel

Ekvationen $x^3=x+1$ skrivs om till $x^3-x-1=0$. Med startvärdet 1,5 hittar metoden x ≈ 1,32471796 efter 5 steg. Ekvationen cos x = x blir cos x − x = 0, och med startvärdet 1 blir svaret x ≈ 0,73908513 efter 4 steg. Ingen av ekvationerna går att lösa exakt med vanliga formler, men de numeriska svaren är så noggranna som man kan behöva.

Ett steg för hand

Så här ser första steget ut för $f\left(x\right)=x^3-x-1$ med startvärdet 1,5. Derivatan är $f\prime \left(x\right)=3x^2-1$. I startpunkten är $f\left(\mathrm{1,5}\right)=\mathrm{3,375}-\mathrm{1,5}-1=\mathrm{0,875}$ och $f\prime \left(\mathrm{1,5}\right)=3·\mathrm{2,25}-1=\mathrm{5,75}$. Nästa gissning blir därför $\mathrm{1,5}-\frac{\mathrm{0,875}}{\mathrm{5,75}}$ ≈ 1,34782608696. Kalkylatorn gör samma räkning i varje rad i tabellen och visar xₙ, f(xₙ), f′(xₙ) och nästa värde. När f(xₙ) är nästan 0 och två värden i rad är lika på alla decimaler du bryr dig om är du klar.

Ett bra test på svaret är att sätta in det i den ursprungliga ekvationen. Blir f(x) praktiskt taget 0 har du hittat ett nollställe. Kalkylatorn visar därför värdet av f i den sista punkten i rutan bredvid resultatet.

När metoden inte fungerar

Metoden kräver att tangenten skär x-axeln och att gissningen är någorlunda nära nollstället. Kalkylatorn varnar i de vanligaste fallen:

• Derivatan är 0. Tangenten är vågrät och skär aldrig x-axeln. Startvärdet 0 för $x^2-2$ ger meddelandet "Derivatan blev 0".
• Metoden pendlar. För $x^3-2x+2$ med startvärdet 0 hoppar värdena mellan 0 och 1 för alltid. Kalkylatorn visar "Pendlar".
• Metoden divergerar. Värdena växer utan gräns, till exempel för tredjeroten ur x.
• Funktionen saknar nollställe, som $x^2+1$. Då hoppar värdena omkring utan att någonsin stanna.

Lösningen är nästan alltid ett bättre startvärde. Rita grafen först och välj en punkt nära det nollställe du söker. Har funktionen flera nollställen hittar metoden oftast det som ligger närmast startvärdet, men inte alltid.

Vanliga fel

• Att inte skriva om ekvationen till formen f(x) = 0 först.
• Att dela med f(x) i stället för f′(x), eller att addera i stället för att subtrahera.
• Att räkna med grader i stället för radianer när ekvationen innehåller sin eller cos.
• Att avrunda för tidigt. Behåll alla decimaler mellan stegen och avrunda bara slutsvaret.
• Att tro att svaret är exakt. Metoden ger ett närmevärde, även om det har många korrekta decimaler.

Typiska uppgifter

1. Gör två steg med Newton–Raphsons metod från ett givet startvärde. Derivera f, ställ upp formeln och räkna x₁ och x₂.
2. Bestäm ett nollställe med tre decimaler. Iterera tills tre decimaler inte längre ändras.
3. Förklara varför metoden misslyckas från ett visst startvärde, till exempel för att derivatan är 0 där.
4. Visa att ekvationen har en lösning i ett intervall genom att f byter tecken mellan intervallets ändpunkter, och förbättra sedan lösningen med några steg av Newton–Raphson från en av ändpunkterna.

Tillämpningar

Metoden används överallt där ekvationer saknar formel. Ett exempel ur ekonomin är att räkna ut vilken årlig ränta som ger ett visst slutbelopp efter ett antal insättningar. Den ekvationen kan inte lösas exakt med en formel, men numeriskt tar det några få steg. Hur ränta växer över tid visar ränta på ränta-kalkylatorn. Mer allmänna ekvationer löser ekvationslösaren.

Så gör du på räknaren

På en vanlig räknare kan du använda svarsknappen för att iterera. Skriv startvärdet och tryck lika med, skriv sedan formeln med Ans i stället för x, till exempel Ans − (Ans² − 2) ÷ (2Ans), och tryck lika med flera gånger. Varje tryck är ett nytt steg. Många räknare har också en inbyggd ekvationslösare som använder liknande metoder.

Fler kalkylatorer för derivator, integraler och numeriska metoder finns bland kalkylatorerna för analys och på matematiksidan.