Extrempunkter

Vad är en extrempunkt?

En extrempunkt är en punkt där en funktion har ett lokalt största eller minsta värde. En maximipunkt är toppen på en kulle: grafen går upp mot punkten och ned efter den. En minimipunkt är botten på en dal. Ordet lokalt betyder att punkten är högst eller lägst jämfört med sin närmaste omgivning, inte nödvändigtvis i hela funktionen.

En terrasspunkt ser ut som en extrempunkt i det att grafen är vågrät där, men funktionen fortsätter åt samma håll efteråt. Den är alltså ingen extrempunkt. Tillsammans kallas maximi-, minimi- och terrasspunkter för stationära punkter, eftersom derivatan är 0 i alla tre.

Så hittar man extrempunkter

1. Derivera funktionen.
2. Lös ekvationen f′(x) = 0. Lösningarna är de stationära punkterna.
3. Gör ett teckenstudium: undersök om derivatan är positiv eller negativ mellan punkterna.
4. Byter derivatan från + till − är det ett maximum, från − till + ett minimum. Behåller den tecknet är det en terrasspunkt.
5. Räkna ut y-koordinaten genom att sätta in x i funktionen, inte i derivatan.

Med kalkylatorns standardexempel $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$ är derivatan $f\prime \left(x\right)=3x^2-12x+9$. Ekvationen f′(x) = 0 ger x = 1 och x = 3. Teckenschemat visar att derivatan är positiv för x < 1, negativ mellan 1 och 3 och positiv igen för x > 3. Resultatet blir: Lokalt maximum: (1; 5). Lokalt minimum: (3; 1). Polynomet har udda grad och saknar därför största och minsta värde.

Hur derivatan räknas ut, med alla regler, visar derivatakalkylatorn.

Teckenschemat

Teckenschemat är en tabell där x-värdena står i ordning och tecknet på derivatan skrivs in mellan dem. Under står pilar som visar om funktionen växer eller avtar. Det är det säkraste sättet att avgöra vilken typ av punkt man har, och det fungerar även när andra metoder ger upp. För standardexemplet ser schemat ut så här:

• x < 1: f′ är positiv, f växer
• x = 1: f′ är 0, f har maximum 5
• 1 < x < 3: f′ är negativ, f avtar
• x = 3: f′ är 0, f har minimum 1
• x > 3: f′ är positiv, f växer

Välj testpunkter mitt i varje intervall när du gör schemat för hand. Mellan 1 och 3 kan du till exempel sätta in x = 2 i derivatan: $3·4-24+9=-3$, alltså negativ.

Kontroll med andraderivatan

Ett snabbare sätt är att sätta in punkten i andraderivatan. Är $f″\left(x\right)<0$ böjer grafen nedåt och punkten är ett maximum. Är $f″\left(x\right)>0$ böjer den uppåt och punkten är ett minimum. För standardexemplet är $f″\left(x\right)=6x-12$, som ger −6 i x = 1 (maximum) och 6 i x = 3 (minimum). Andraderivatan förklaras mer i andraderivatakalkylatorn.

Om $f″\left(x\right)=0$ ger testet inget besked. Funktionen $f\left(x\right)=x^3$ har derivatan $3x^2$, som är 0 i x = 0, och andraderivatan 6x, som också är 0 där. Teckenstudiet visar att derivatan är positiv på båda sidor, så det är en terrasspunkt. Kalkylatorn svarar: Terrasspunkt: (0; 0).

Flera extrempunkter

Ett fjärdegradspolynom kan ha tre extrempunkter. För $f\left(x\right)=x^4-2x^2$ blir derivatan $4x^3-4x$, som är 0 för x = −1, 0 och 1. Lokalt maximum: (0; 0). Lokalt minimum: (−1; −1), (1; −1). Det lägsta lokala minimumet är också funktionens minsta värde. Något största värde finns inte.

En andragradsfunktion har alltid exakt en extrempunkt, vertex. Där räcker det att räkna ut symmetrilinjen, vilket parabelkalkylatorn gör. Lösningarna till f′(x) = 0 kan också hittas med andragradsekvationskalkylatorn när derivatan är av grad två.

Största och minsta värde på ett intervall

På ett slutet intervall finns alltid ett största och ett minsta värde för en kontinuerlig funktion. De kan ligga i en extrempunkt eller i någon av ändpunkterna. Metoden är att räkna ut funktionsvärdet i alla stationära punkter inom intervallet och i båda ändpunkterna, och sedan jämföra.

För standardexemplet på intervallet 0 ≤ x ≤ 5: På intervallet 0 ≤ x ≤ 5 är största värdet 21 (i x = 5) och minsta värdet 1 (i x = 0 och x = 3). Det största värdet ligger alltså i ändpunkten x = 5, inte i maximipunkten. Att glömma ändpunkterna är ett av de vanligaste felen.

Optimering i praktiken

Extrempunkter används för att hitta det bästa möjliga: störst volym, lägst kostnad eller högst vinst. Ett klassiskt exempel är en låda som viks av en kvadratisk skiva på 30 × 30 cm. Klipper man bort kvadrater med sidan x i hörnen blir volymen $V\left(x\right)=x·(30-2x{)}^2$, där x ligger mellan 0 och 15. På intervallet 0 ≤ x ≤ 15 är största värdet 2 000 (i x = 5) och minsta värdet 0 (i x = 0 och x = 15). Den största lådan får alltså volymen 2 000 cm³ när hörnen är 5 cm.

Inom ekonomi beskriver man ofta vinsten som en funktion av antal sålda enheter. Om vinsten är $V\left(x\right)=-2x^2+240x-\mathrm{2 000}$ kronor blir det största värdet 5 200 kr vid 60 sålda enheter. Hur pris och kostnad hänger ihop med vinsten per vara räknar marginalkalkylatorn ut.

Extrempunkter och grafens form

Extrempunkterna är grafens vändpunkter. Mellan två intilliggande stationära punkter är funktionen antingen växande hela vägen eller avtagande hela vägen, och det är därför teckenschemat räcker för att skissa grafen. Lägg till skärningarna med x-axeln, som nollställekalkylatorn hittar, och skärningen med y-axeln, f(0), så har du det mesta av kurvans form.

Ett polynom av grad n har högst n − 1 extrempunkter, eftersom derivatan har grad n − 1 och därmed högst så många nollställen. Ett tredjegradspolynom har alltså två extrempunkter eller ingen alls, och ibland en terrasspunkt. Är koefficienten framför den högsta potensen positiv går ett polynom av udda grad från minus oändligheten till plus oändligheten, så det saknar både största och minsta värde. Ett polynom av jämn grad med positiv koefficient har däremot alltid ett minsta värde, och det ligger i det lägsta av de lokala minimumen.

Rationella funktioner och funktioner med rötter eller logaritmer kan ha delar av tallinjen där de inte är definierade. Kalkylatorn räknar bara med punkter där funktionen är definierad, eftersom en extrempunkt alltid måste ligga där funktionen finns.

Vanliga fel

• Att sätta in x-värdet i derivatan i stället för i funktionen när y-koordinaten ska räknas ut. Derivatan är ju 0 där.
• Att anta att varje lösning till f′(x) = 0 är ett maximum eller minimum. Det kan vara en terrasspunkt.
• Att glömma ändpunkterna när uppgiften gäller ett intervall.
• Att blanda ihop lokalt och globalt maximum. Ett lokalt maximum är bara högst i sin närhet.
• Att missa punkter där derivatan inte finns. Funktionen |x| har ett minimum i x = 0 fast derivatan saknas där. Sådana punkter syns som en spets i grafen.

Typiska uppgifter

1. Bestäm extrempunkterna och deras karaktär med teckenstudium.
2. Bestäm största och minsta värde på ett givet intervall.
3. Skissa grafen med hjälp av extrempunkter och skärningar med axlarna.
4. Optimering: ställ upp en funktion för det som ska bli störst eller minst, derivera och lös f′(x) = 0.
5. Bestäm tangenten i en extrempunkt. Den är alltid vågrät, y = f(a), vilket tangentkalkylatorn visar.

Om den numeriska sökningen

För polynom och rationella funktioner hittar kalkylatorn alla lösningar till f′(x) = 0 med en säker numerisk metod och skriver dem exakt när de är heltal, bråk eller enkla rotuttryck som 1 − √2. Andra lösningar visas avrundade. För övriga funktioner, som sin x eller $x·e^{-x}$, söks nollställena numeriskt mellan x = −10 och x = 10. Då anges det i svaret, och du kan slå på intervall för att söka någon annanstans.

Fler verktyg för derivata och grafer finns bland kalkylatorerna för analys och på matematiksidan.