Parabel

Vad är en parabel?

En parabel är grafen till en andragradsfunktion, $y={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$ där a inte är 0. Den har formen av en båge som antingen öppnar uppåt, som en skål, eller nedåt, som ett lock. Tecknet på a avgör vilket: positivt a ger en skål med ett minsta värde, negativt a ger ett lock med ett största värde.

Parabeln är symmetrisk kring en lodrät linje, symmetrilinjen. Där linjen skär parabeln ligger vertex, den punkt där funktionen vänder. Vertex kallas också extrempunkt, och den är antingen en minimipunkt eller en maximipunkt.

Formlerna

• Symmetrilinje och vertex x-koordinat: $x=-\frac{b}{2a}$
• Vertex y-koordinat: sätt in x-värdet i funktionen.
• Skärning med y-axeln: punkten (0; c), eftersom alla termer med x blir noll när x = 0.
• Nollställen: lös ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c=0$, till exempel med pq-formeln.
• Vertexform: $y=a(x-h{)}^2+k$, där (h; k) är vertex.

Varför är symmetrilinjen $x=-\frac{b}{2a}$? Om parabeln har två nollställen ligger symmetrilinjen exakt mitt emellan dem, och med pq-formeln är mittpunkten just $-\frac{p}{2}=-\frac{b}{2a}$. Formeln gäller även när nollställen saknas, och den kan också härledas med derivata: lutningen är noll i vertex. Det sättet att hitta vändpunkter används i extrempunktskalkylatorn och derivatakalkylatorn.

Exempel: y = x² − 4x + 3

Här är a = 1, b = −4 och c = 3. Symmetrilinjen är $x=-\frac{-4}{2}=2$, och $y\left(2\right)=4-8+3=-1$. Vertex är (2; −1), minimipunkt. Eftersom a är positivt är −1 det minsta värde funktionen kan anta, och värdemängden är y ≥ −1.

Nollställena får du med pq-formeln, $x=2\pm \sqrt{4-3}=2\pm 1$, alltså x₁ = 1, x₂ = 3. Parabeln skär y-axeln i (0; 3). I vertexform blir funktionen y = (x − 2)² − 1 och i faktorform y = (x − 1)(x − 3). Alla tre formerna beskriver samma parabel.

Exempel: en parabel som öppnar nedåt

För $y=-x^2+2x+8$ är a negativt, så parabeln öppnar nedåt och vertex (1; 9), maximipunkt är en högsta punkt. Funktionens största värde är 9, och nollställena är x₁ = −2, x₂ = 4. Lägg märke till att vertex ligger mitt emellan nollställena: (−2 + 4)/2 = 1.

Kvadratkomplettering och vertexform

Vertexform får man genom kvadratkomplettering. Ta $y=2x^2+3x-2$. Bryt ut 2 ur x-termerna, lägg till och dra bort kvadraten av halva x-koefficienten och samla ihop. Resultatet blir y = 2(x + 0,75)² − 3,125, och vertex kan läsas av direkt: (−0,75; −3,125), minimipunkt. Steget för steg visas i kalkylatorn, och mer om metoden finns i kalkylatorn för kvadratkomplettering.

Det går också åt andra hållet. Har du y = 2(x − 1)² − 8 ser du vertex (1; −8) direkt. Multiplicera ut så får du standardformen y = 2x² − 4x − 6, och nollställena blir x₁ = −1, x₂ = 3.

pq-formeln och abc-formeln

Andragradsekvationer löses ofta med pq-formeln. Den kräver att x² har koefficienten 1, så först delar man hela ekvationen med a. Sedan gäller $x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2}{)}^2-q}$. Uttrycket under rottecknet, diskriminanten, avgör antalet nollställen: positivt ger två, noll ger ett (en dubbelrot där parabeln tangerar x-axeln) och negativt ger inga reella nollställen.

I många andra länder används abc-formeln, $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\mathrm{ac}}}{2a}$. Den ger samma svar utan att man behöver dela med a först. Vill du bara lösa ekvationen, utan graf och vertex, finns kalkylatorn för andragradsekvationer, och för polynom av högre grad nollställeskalkylatorn.

Vanliga fel

• Teckenfel i vertexform. $y=(x-2{)}^2$ har vertex i x = 2, inte −2. Och $y=(x+3{)}^2$ har vertex i x = −3.
• Att glömma dela med a innan pq-formeln används. Formeln gäller bara när x² står ensamt.
• Att tro att en parabel utan nollställen är fel. $y=x^2+1$ ligger helt ovanför x-axeln och har vertex (0; 1). Det finns helt enkelt inga reella lösningar.
• Att blanda ihop skärningen med y-axeln och vertex. Skärningen med y-axeln är alltid (0; c), vertex ligger oftast någon annanstans.
• Att glömma att svaret ska vara en punkt. Vertex har både en x- och en y-koordinat.

Typiska provuppgifter

En vanlig uppgift ger funktionen och frågar efter vertex och nollställen. Räkna symmetrilinjen med $-\frac{b}{2a}$, sätt in för att få y-värdet, och lös $y=0$ med pq-formeln. Kontrollera att vertex ligger mitt emellan nollställena.

En annan typ ger grafen och ber dig ta fram funktionen. Läs av vertex och sätt in i vertexform, och bestäm a med en punkt till. Eller läs av nollställena och använd faktorform, $y=a(x-x_1)(x-x_2)$. Uppgifter där två grafer möts, till exempel en linje och en parabel, löser du genom att sätta uttrycken lika, se skärningspunktskalkylatorn. Ett enskilt y-värde för ett visst x räknar funktionsvärdeskalkylatorn ut.

Parabler i verkligheten

En boll som kastas uppåt följer en parabel om man bortser från luftmotståndet. Kastas den från 1,5 meters höjd med farten 20 m/s blir höjden ungefär $y=-\mathrm{4,9}{x}^2+20x+\mathrm{1,5}$, där x är tiden i sekunder. Vertex (2,04; 21,91) betyder att bollen når drygt 21 meter efter ungefär 2 sekunder. Det positiva nollstället, cirka 4,2 sekunder, är när den slår i marken.

Parabler används också för att hitta största eller minsta värden. Med 80 meter stängsel ska man inhägna en rektangulär hage mot en vägg. Om sidan längs väggen är x meter blir arean $y=-\mathrm{0,5}{x}^2+40x$. Vertex (40; 800) visar att den största arean, 800 m², fås när sidan längs väggen är 40 meter.

Så gör du på räknaren

• Symmetrilinjen: −b ÷ (2 × a). Skriv parentesen, annars blir det fel.
• Vertex y-värde: sätt in x-värdet i funktionen, gärna med parenteser runt negativa tal.
• pq-formeln: räkna först p/2 och sedan roten ur (p/2)² − q. Är talet under roten negativt finns inga reella lösningar.
• Många grafritande räknare kan rita kurvan och hitta minimum, maximum och nollställen direkt i grafläget.

Fler kalkylatorer om grafer, linjer och tillväxt finns bland kalkylatorerna för funktioner och grafer och på matematiksidan.