Exponentiell tillväxt

Vad är exponentiell tillväxt?

Vid exponentiell tillväxt multipliceras värdet med samma tal varje period. Det talet kallas förändringsfaktor och skrivs ofta $a$. Ökar något med 5 % per år är förändringsfaktorn 1,05, och minskar det med 15 % per år är den 0,85. Skillnaden mot linjär tillväxt är att ökningen själv växer: 5 % av ett större belopp är fler kronor än 5 % av ett mindre.

Funktionen skrivs $y=C·a^x$, där $C$ är startvärdet, $a$ är förändringsfaktorn och $x$ är antalet perioder. Är $a$ större än 1 växer funktionen, och är $a$ mellan 0 och 1 avtar den. En sådan funktion kallas exponentialfunktion, eftersom variabeln står i exponenten. Mer om potenser och exponenter finns i potenskalkylatorn.

Förändringsfaktorn ur procent

Förändringsfaktorn räknas ut som 1 plus förändringen i decimalform. Det gäller både ökning och minskning.

• Ökning med 5 %: $a=1+\mathrm{0,05}=\mathrm{1,05}$
• Ökning med 120 %: $a=1+\mathrm{1,2}=\mathrm{2,2}$
• Minskning med 15 %: $a=1-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,85}$
• Minskning med 3,5 %: $a=1-\mathrm{0,035}=\mathrm{0,965}$

Omvänt får man procenten genom att dra bort 1 och multiplicera med 100. En förändringsfaktor på 0,92 betyder alltså en minskning med 8 % per period. Hur en enskild förändring i procent räknas ut visar kalkylatorn för procentuell förändring.

Exempel: räkna ut slutvärdet

Ett belopp på 10 000 kr växer med 5 % per år i 10 år. Slutvärdet blir $\mathrm{10 000}·{\mathrm{1,05}}^{10}\approx \mathrm{16 288,95}$ kr, en total ökning med 62,89 %. Om ökningen i stället hade varit linjär, alltså 500 kr per år, hade slutvärdet blivit 15 000 kr. Skillnaden är effekten av att varje års ökning också växer. Samma räkning med insättningar och skatt gör ränta på ränta-kalkylatorn.

Exponentiell minskning fungerar likadant. En maskin för 250 000 kr som tappar 15 % av sitt värde varje år är efter fem år värd $\mathrm{250 000}·{\mathrm{0,85}}^5\approx \mathrm{110 926,33}$ kr, alltså 55,63 % mindre än från början. Hur en bil brukar tappa i värde räknar värdeminskningskalkylatorn för bil ut.

Räkna baklänges: startvärde, procent och tid

Vet du slutvärdet kan du räkna ut startvärdet genom att dela: $C=\frac{y}{a^x}$. Ska du ha 50 000 kr om åtta år och värdet växer med 4 % per år behöver du börja med ungefär 36 534,51 kr.

Vet du både start- och slutvärde kan du räkna ut den årliga förändringen. Dela slutvärdet med startvärdet och ta den x:te roten: $a=(\frac{y}{C}{)}^{1/x}$. Ett värde som går från 8 000 till 12 000 på sex år har ökat med 6,99 % per år, inte med 50/6 ≈ 8,3 %. Den genomsnittliga årliga förändringen är alltid lägre än den totala delat med antalet år när värdet växer, eftersom ökningen sker på ett allt större belopp.

Söker du tiden tills ett mål nås står $x$ i exponenten, och då behövs logaritmer. Ur $C·a^x=y$ får man $x=\frac{\lg (y/C)}{\lg a}$. Ett värde som växer med 3 % per period fördubblas på 23,45 perioder. Fördubblingar har en egen kalkylator med tumregler, fördubblingstidskalkylatorn, och logaritmer förklaras i logaritmkalkylatorn.

Formen med talet e

Samma förlopp kan skrivas $y=C·e^{\mathrm{kx}}$, där $e\approx \mathrm{2,718}$ och $k=\ln a$. Med 5 % ökning blir $k=\ln \mathrm{1,05}\approx \mathrm{0,0487902}$. Formen används mycket i naturvetenskap och i analys, eftersom derivatan av $e^{\mathrm{kx}}$ blir så enkel. Är $k$ negativt avtar funktionen, och då talar man ofta om halveringstid i stället för fördubblingstid. Den räknar halveringstidskalkylatorn ut.

Exponentiell tillväxt och talföljder

Värdena period för period bildar en geometrisk talföljd: varje tal är föregående gånger $a$. Startvärdet 100 med 2 % ökning ger 100, 102, 104,04 och så vidare, och efter 20 perioder 148,59. Summan av sådana följder och formeln för den n:te termen finns i talföljdskalkylatorn.

Vanliga fel

• Att använda procenttalet direkt som faktor. 5 % ökning är faktorn 1,05, inte 5 eller 0,05.
• Att räkna linjärt. 10 % ökning i tre år är inte 30 %, utan ${\mathrm{1,1}}^3=\mathrm{1,331}$, alltså 33,1 %.
• Att tro att en minskning tar ut en lika stor ökning. Minskar något med 20 % och sedan ökar med 20 % blir det $\mathrm{0,8}·\mathrm{1,2}=\mathrm{0,96}$, alltså 4 % lägre än från början.
• Att dela den totala förändringen med antalet år för att få den årliga. Den årliga faktorn är roten ur den totala.
• Att glömma att perioden måste vara densamma i hela uträkningen. Månadsränta och årsränta kan inte blandas utan omräkning.

Typiska uppgifter

De flesta uppgifter om exponentiell förändring följer ett av fyra mönster, och kalkylatorn har ett läge för varje:

1. Beräkna värdet efter en viss tid. Ställ upp $y=C·a^x$ och räkna.
2. Beräkna startvärdet. Dela slutvärdet med $a^x$.
3. Beräkna den procentuella förändringen per period. Ta roten ur kvoten mellan slut- och startvärde, dra bort 1 och multiplicera med 100.
4. Beräkna tiden. Lös exponentialekvationen med logaritmer och avrunda uppåt om svaret ska vara ett helt antal perioder.

Ett vanligt tillägg är att avgöra om en tabell visar linjär eller exponentiell förändring. Är skillnaden mellan på varandra följande värden konstant är den linjär. Är kvoten konstant är den exponentiell.

Var exponentiell förändring förekommer

Sparande med ränta, priser som stiger med inflationen, befolkningar som växer med en viss andel per år, bakterier som delar sig och värdeminskning på saker man äger följer alla ungefär samma modell. I verkligheten varierar procenten ofta över tid, så modellen ger en uppskattning, inte en exakt prognos. Hur prisnivån har förändrats över tid visar inflationskalkylatorn.

Så gör du på räknaren

• Slutvärde: skriv startvärdet × 1,05 ^ 10 och tryck =. Använd potensknappen, ofta markerad ^ eller xʸ.
• Procent per period: skriv (12000 ÷ 8000) ^ (1 ÷ 6), dra bort 1 och multiplicera med 100.
• Tid: skriv log(1000 ÷ 500) ÷ log(1,03). Både log och ln fungerar så länge samma används i täljare och nämnare.
• Sätt parenteser runt exponenter som är bråk, annars räknas bara täljaren som exponent.

Fler kalkylatorer för funktioner finns bland kalkylatorerna för funktioner och grafer och på matematiksidan.