Fördubblingstid

Vad är fördubblingstid?

Fördubblingstiden är den tid det tar för något som växer exponentiellt att bli dubbelt så stort. Växer något med lika många procent varje period tar varje fördubbling lika lång tid, oavsett hur stort värdet är från början. Ett belopp som växer med 7 % per år går från 10 000 till 20 000 kr på samma tid som från 20 000 till 40 000 kr.

Begreppet hör ihop med exponentiell tillväxt, där värdet multipliceras med samma förändringsfaktor varje period. Motsatsen, tiden det tar att halveras vid exponentiell minskning, räknar halveringstidskalkylatorn ut.

Formeln för fördubblingstid

Med ökningen $p$ procent per period är förändringsfaktorn $a=1+p/100$. Fördubbling betyder att $a^T=2$. Ta logaritmen av båda leden så kommer $T$ ner:

$T=\frac{\ln 2}{\ln (1+p/100)}$

Med 7 % blir det $T=\frac{\ln 2}{\ln \mathrm{1,07}}\approx \mathrm{10,24}$ perioder. Det spelar ingen roll om man använder ln eller lg, så länge samma logaritm står i täljare och nämnare. Hur logaritmer fungerar förklaras i logaritmkalkylatorn.

Samma formel fungerar för vilken faktor som helst, bara siffran 2 byts ut. Tredubbling vid 5 % per år tar 22,52 perioder, och tiodubbling vid 7 % tar 34,03 perioder.

72-regeln och 70-regeln

72-regeln är ett huvudräkningsknep: dela 72 med procentsatsen så får du ungefär fördubblingstiden. Vid 7 % blir det $\frac{72}{7}\approx \mathrm{10,3}$, nära det exakta 10,24. 70-regeln fungerar likadant men med 70.

Regeln fungerar eftersom $\ln 2\approx \mathrm{0,693}$ och eftersom $\ln (1+r)$ är nära $r$ när $r$ är litet. Fördubblingstiden blir då ungefär $\frac{\mathrm{0,693}}{r}$, alltså 69,3 delat med procentsatsen. 72 används för att det är lättare att dela, och för att det ger ett något bättre svar kring 6–10 %, där avrundningen åt andra hållet tar ut skillnaden.

Så nära kommer reglerna vid olika procentsatser:

• 1 %: exakt 69,66, 72-regeln 72 perioder, 70-regeln 70 perioder.
• 3 %: exakt 23,45, 72-regeln 24 perioder, 70-regeln 23,33 perioder.
• 7 %: exakt 10,24, 72-regeln 10,29 perioder, 70-regeln 10 perioder.
• 10 %: exakt 7,27, 72-regeln 7,2 perioder, 70-regeln 7 perioder.
• 20 %: exakt 3,8, 72-regeln 3,6 perioder.
• 50 %: exakt 1,71, 72-regeln 1,44 perioder.

Vid låga procentsatser ligger 70-regeln närmast. Vid höga procentsatser blir båda reglerna för optimistiska, och då behövs den exakta formeln.

Räkna baklänges: vilken procent krävs?

Vill du veta vilken årlig ökning som behövs för att något ska fördubblas på en viss tid tar du roten ur 2: $a=2^{1/T}$. Ska ett värde fördubblas på 10 år krävs 7,18 % per år, och på 20 år 3,53 %. 72-regeln ger 7,2 % respektive 3,6 %, alltså nära.

Exempel ur vardagen

Ett sparande med 7 % årlig avkastning fördubblas på drygt tio år, om avkastningen är jämn och inget tas ut. Det är ett räkneexempel, inte en prognos. Verklig avkastning varierar mellan åren, och avgifter och skatt drar ner den. Med insättningar och skatt räknar ränta på ränta-kalkylatorn, och hur en placering har utvecklats räknar avkastningskalkylatorn ut.

Samma räkning fungerar åt andra hållet för kostnader. Stiger priser med 2 % per år tar det cirka 35 år innan prisnivån har fördubblats, och vid 3 % cirka 23 år. Fördubblingstid används också för befolkningar och bakterieodlingar, alltid med antagandet att procenten är konstant.

Den som räknar på hur länge ett kapital räcker eller när det når ett visst mål kan ha nytta av FIRE-kalkylatorn, som bygger på samma typ av tillväxtberäkning.

Vanliga fel

• Att räkna linjärt. 7 % per år i tio år är inte 70 %, utan ungefär 97 %, eftersom ökningen sker på ett växande belopp.
• Att dela 72 med decimalformen. Det är 72 delat med 7, inte med 0,07.
• Att använda tumregeln vid höga procentsatser. Vid 50 % per period är felet över 15 %.
• Att blanda perioder. Är räntan per månad blir fördubblingstiden i månader, inte år.

Typiska uppgifter

1. Hur lång tid tar det för 5 000 kr att bli 10 000 kr med 4 % ränta? Lös ${\mathrm{1,04}}^T=2$, vilket ger $T\approx \mathrm{17,7}$ år.
2. Vilken ränta krävs för att fördubbla på 12 år? Räkna $2^{1/12}\approx \mathrm{1,0595}$, alltså cirka 5,9 %.
3. Uppskatta fördubblingstiden med 72-regeln och jämför med det exakta svaret. Skillnaden visar hur bra tumregeln är vid just den procentsatsen.
4. En befolkning växer med 1,5 % per år. När har den fördubblats? $T=\frac{\ln 2}{\ln \mathrm{1,015}}\approx \mathrm{46,6}$ år.

Det som fördubblas över och över bildar en geometrisk talföljd: 1, 2, 4, 8 och så vidare. Talföljder räknar talföljdskalkylatorn, och en enskild procentuell förändring räknar kalkylatorn för procentuell förändring.

Så gör du på räknaren

• Exakt fördubblingstid: ln(2) ÷ ln(1,07) =. Med log i stället för ln blir svaret detsamma.
• Procent för en viss tid: 2 ^ (1 ÷ 10) =, dra sedan bort 1 och multiplicera med 100.
• 72-regeln i huvudet: 72 ÷ procentsatsen.

Fler kalkylatorer för funktioner finns bland kalkylatorerna för funktioner och grafer och på matematiksidan.