K-värde

Vad är k-värdet?

k-värdet, eller riktningskoefficienten, talar om hur brant en rät linje är. Det anger hur mycket y ändras när x ökar med 1. En linje med $k=2$ stiger två steg uppåt för varje steg åt höger, och en linje med $k=-\mathrm{0,5}$ sjunker ett halvt steg för varje steg åt höger.

Tillsammans med m-värdet bestämmer k hela linjen. Ekvationen skrivs $y=\mathrm{kx}+m$, där m är y-värdet där linjen skär y-axeln, alltså när $x=0$. Den formen kallas räta linjens ekvation i k-form, och mer om den finns i kalkylatorn för räta linjens ekvation.

Formeln för k ur två punkter

Har du två punkter $(x_1;y_1)$ och $(x_2;y_2)$ på linjen räknar du k som förändringen i y delat med förändringen i x:

$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Formeln fungerar eftersom en rät linje har samma lutning överallt. Var du än väljer två punkter blir kvoten mellan stigningen och steget åt sidan densamma. Det är samma idé som en ändringskvot, men för en linje är kvoten konstant medan den för en kurva beror på var du mäter.

När k är känt får du m genom att sätta in en av punkterna i $y=\mathrm{kx}+m$ och lösa ut m. Det spelar ingen roll vilken punkt du väljer, svaret blir detsamma.

Exempel: k ur två punkter

Linjen går genom (1; 2) och (4; 8). Då är $\Delta y=8-2=6$ och $\Delta x=4-1=3$, så $k=\frac{6}{3}=2$. Sätt in (1; 2): $2=2·1+m$, vilket ger m = 0. Ekvationen blir y = 2x, och linjen går genom origo.

Med punkterna (0; 1) och (3; 3) blir $k=\frac{2}{3}$, ungefär 0,667. Här syns m direkt eftersom den ena punkten ligger på y-axeln, och ekvationen blir y = (2/3)x + 1. Kalkylatorn visar k som bråk när det går, eftersom det är exakt och ofta efterfrågas på prov.

Exempel: k och en punkt

Vet du redan lutningen räcker en punkt. En linje med k = −1/2 går genom (4; 3). Insättning ger $3=-\frac{1}{2}·4+m$, alltså $m=3+2=5$. Ekvationen blir y = −0,5x + 5. Eftersom k är negativt är linjen avtagande.

Exempel: från allmän form

Ibland är linjen given som $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+c=0$, till exempel $3x+2y-6=0$. Lös ut y: $2y=-3x+6$, och efter division med 2 blir det y = −1,5x + 3. Alltså är k = −3/2 och m = 3. I allmänhet gäller $k=-\frac{a}{b}$ och $m=-\frac{c}{b}$, så länge b inte är 0.

Lutning i grader och procent

k-värdet är samma sak som lutningen i procent delat med 100. En väg som stiger 8 meter på 100 meter har $k=\mathrm{0,08}$, alltså 8 %, och lutningsvinkeln blir 4,57°. Vinkeln räknas med arctan av k. Omräkning mellan procent, grader och förhållanden som 1:12 görs i lutningskalkylatorn.

Observera att 100 % lutning motsvarar 45°, inte 90°. En lodrät linje har oändlig lutning och inget k-värde alls.

Vinkelräta och parallella linjer

• Parallella linjer har samma k-värde men olika m.
• Två linjer är vinkelräta om produkten av deras k-värden är −1. En linje med k = 2 har alltså vinkelräta linjer med k = −1/2.
• En vågrät linje har k = 0. Linjer vinkelräta mot den är lodräta och saknar k-värde.
• Var två linjer med olika k skär varandra räknar du ut i skärningspunktskalkylatorn.

Vanliga fel

• Att dela Δx med Δy i stället för tvärtom. k är förändringen i y delat med förändringen i x, så y står i täljaren.
• Att blanda ordningen på punkterna. Börjar du med punkt 2 i täljaren måste du börja med punkt 2 i nämnaren också.
• Att tappa minustecken när koordinaterna är negativa. Skriv parenteser: $5-(-3)=8$.
• Att tro att en lodrät linje har k = 0. Det är den vågräta linjen som har k = 0. Den lodräta saknar k, eftersom Δx = 0 och man inte kan dela med noll.
• Att glömma m. Ett k-värde ensamt beskriver bara lutningen, inte var linjen ligger.

Typiska provuppgifter

Den vanligaste uppgiften ger två punkter och frågar efter linjens ekvation. Räkna k, sätt in en punkt, lös ut m och skriv svaret som $y=\mathrm{kx}+m$. Kontrollera genom att sätta in den andra punkten.

En annan typ ger en graf och ber dig avläsa k. Välj två punkter där linjen passerar genom rutnätets hörn, räkna rutorna uppåt och åt sidan och dela. En tredje typ ger en tabell med x och y och frågar om sambandet är linjärt. Räkna Δy/Δx mellan varje par av rader. Blir kvoten densamma hela vägen är sambandet linjärt. Värden som bara ungefär följer en linje anpassas i stället med linjär regression.

k-värdet i vardagen

k-värdet dyker upp så fort något ändras jämnt. En taxiresa som kostar 150 kr för 2 km och 350 kr för 6 km ger k = 50 kr per km och m = 50 kr i startavgift. Samma tankesätt ligger bakom milkostnadskalkylatorn, där k är kostnaden per mil.

En tank som går från 1 200 liter till 600 liter på 12 timmar töms med 50 liter i timmen, och k = −50. I rörelse är k farten: lutningen i ett sträcka–tid-diagram är hastigheten, som genomsnittshastighetskalkylatorn räknar ut. Avståndet mellan de två punkterna, längs linjen, får du med avståndsformeln.

Så gör du på räknaren

• Skriv hela kvoten med parenteser: (8 − 2) ÷ (4 − 1) = 2.
• Med negativa koordinater: (−3 − 5) ÷ (2 − (−2)) = −2. Använd räknarens minustecken för negativa tal.
• Vill du ha svaret som bråk har många räknare en knapp som växlar mellan decimal- och bråkform.
• Lutningsvinkeln får du med inversen till tangens, tan⁻¹ eller arctan, med räknaren i gradläge.

Vill du räkna ut y för ett visst x när ekvationen är känd används funktionsvärdeskalkylatorn. Fler kalkylatorer om linjer, kurvor och tillväxt finns bland kalkylatorerna för funktioner och grafer och på matematiksidan.