Andraderivata

Vad är andraderivatan?

Andraderivatan är derivatan av derivatan. Man deriverar alltså funktionen en gång, och sedan en gång till. Den skrivs f″(x) och utläses "f bis av x". Första derivatan anger hur brant grafen lutar, och andraderivatan anger hur snabbt den lutningen ändras. Hur man deriverar visar derivatakalkylatorn.

Med kalkylatorns standardexempel $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ blir första derivatan $f\prime \left(x\right)=3x^2-6x$ och andraderivatan $f″\left(x\right)=6x-6$. I x = 2 är andraderivatan 6.

Konvex och konkav

Andraderivatans tecken säger åt vilket håll grafen böjer:

• f″(x) > 0: grafen är konvex och böjer uppåt, som en glad mun. Lutningen ökar när x ökar.
• f″(x) < 0: grafen är konkav och böjer nedåt, som en ledsen mun. Lutningen minskar när x ökar.
• f″(x) = 0: grafen kan byta böjningsriktning här, men behöver inte göra det.

För standardexemplet blir svaret: Konvex (glad mun) för x > 1. Konkav (ledsen mun) för x < 1. Inflexionspunkt: (1; 0).

Ett enkelt sätt att komma ihåg skillnaden är att tänka på formen: uppåtböjd som ∪ eller nedåtböjd som ∩.

Inflexionspunkter

En inflexionspunkt är en punkt där grafen byter från konvex till konkav eller tvärtom. Där är andraderivatan 0 eller saknas, och den byter tecken. I en inflexionspunkt korsar tangenten grafen i stället för att bara nudda den.

Funktionen $f\left(x\right)=x^4-6x^2$ har andraderivatan $f″\left(x\right)=12x^2-12$, som är 0 för x = −1 och x = 1. Teckenstudiet visar att den byter tecken i båda punkterna, så de är inflexionspunkter. Konvex (glad mun) för x < −1 och x > 1. Konkav (ledsen mun) för −1 < x < 1. Inflexionspunkter: (−1; −5), (1; −5).

Att f″(x) = 0 räcker inte. Funktionen $f\left(x\right)=x^4$ har $f″\left(x\right)=12x^2$, som är 0 i x = 0 men positiv på båda sidor. Grafen är konvex hela vägen och har ingen inflexionspunkt. Kontrollera därför alltid tecknet på båda sidor, precis som när man letar extrempunkter.

Andraderivatan och extrempunkter

Andraderivatan är ett snabbt sätt att avgöra vilken sorts extrempunkt man har hittat. Om f′(a) = 0 och f″(a) < 0 ligger punkten på en nedåtböjd del av grafen, och då är den ett maximum. Om f″(a) > 0 är den ett minimum. Den fullständiga metoden med teckenschema finns i extrempunktskalkylatorn.

För standardexemplet är f′(x) = 0 i x = 0 och x = 2. Andraderivatan ger $f″\left(0\right)=-6$, alltså maximum, och $f″\left(2\right)=6$, alltså minimum. Om f″(a) = 0 ger testet inget besked, och då måste man göra ett teckenstudium av f′ i stället.

Andragradsfunktioner

För en andragradsfunktion är andraderivatan konstant. För $f\left(x\right)=-5x^2+20x$ blir den −10 överallt, så grafen är konkav för alla x och vertex är ett maximum. Kalkylatorn svarar: Konkav (ledsen mun) för alla x. Grafen har inga inflexionspunkter. Andraderivatan är alltid två gånger koefficienten framför x², och därför bestämmer tecknet på den koefficienten om parabeln öppnar sig uppåt eller nedåt. Mer om det finns i parabelkalkylatorn.

Andraderivatan i fysik

Om s(t) är en sträcka som funktion av tiden är derivatan s′(t) hastigheten och andraderivatan s″(t) accelerationen. För ett föremål som faller fritt är sträckan ungefär $s\left(t\right)=\mathrm{4,9}{t}^2$ meter. Hastigheten blir $s\prime \left(t\right)=\mathrm{9,8}t$ m/s och accelerationen $s″\left(t\right)=\mathrm{9,8}$ m/s², vilket är tyngdaccelerationen.

Vägen tillbaka går via integraler: integrerar man accelerationen får man hastigheten, och integrerar man hastigheten får man sträckan. Det räknar integralkalkylatorn ut.

Andraderivatan i ekonomi

Andraderivatan visar om en ökning går allt snabbare eller allt långsammare. Ett sparande som växer med ränta på ränta har en positiv andraderivata: ökningen per år blir större för varje år. Det syns som en uppåtböjd kurva, och kan räknas fram med ränta-på-ränta-kalkylatorn.

Omvänt har en vinst som ökar med antalet sålda varor men allt långsammare en negativ andraderivata. Det kallas avtagande avkastning, och är skälet till att det ofta finns ett bästa antal att producera.

Grafen i kalkylatorn

Grafen visar funktionen f, inte andraderivatan. Delarna där grafen är konvex är ritade i blått och de konkava delarna i orange. Inflexionspunkterna är markerade med ringar. Tabellen under visar tecknet på f″(x) i varje intervall.

Ta funktionen $f\left(x\right)=x^3$ som exempel. Andraderivatan är $f″\left(x\right)=6x$, så grafen är konkav till vänster om origo och konvex till höger. Inflexionspunkten blir (0; 0). Där är även första derivatan 0, så origo är samtidigt en terrasspunkt.

Högre derivator

Man kan fortsätta derivera. Tredjederivatan skrivs f‴(x) och den fjärde ofta $f^{\left(4\right)}\left(x\right)$. För ett polynom av grad n blir den n:te derivatan en konstant och alla följande derivator 0. Exponentialfunktionen $e^x$ är speciell: alla dess derivator är $e^x$ igen. För sin x upprepar sig derivatorna efter fyra steg: cos x, −sin x, −cos x och sedan sin x igen.

Högre derivator används bland annat för att bygga polynom som approximerar en funktion nära en punkt. Ju fler derivator som stämmer överens, desto bättre blir approximationen. Tangenten använder bara första derivatan, och tar man med andraderivatan får man en parabel som följer kurvan ännu närmare.

Vanliga fel

• Att tro att varje punkt där f″(x) = 0 är en inflexionspunkt. Andraderivatan måste också byta tecken.
• Att blanda ihop inflexionspunkt och terrasspunkt. En terrasspunkt är en inflexionspunkt där även f′ är 0, men de flesta inflexionspunkter har en lutning skild från 0.
• Att sätta in punkten i f′ i stället för f″ när man gör andraderivatatestet.
• Att glömma att ange y-koordinaten. En inflexionspunkt är en punkt (x; y), och y räknas ut i f, inte i f″.

Typiska uppgifter

1. Bestäm f″(x) och f″(a).
2. Avgör med andraderivatan om en stationär punkt är ett maximum eller minimum.
3. Bestäm inflexionspunkterna.
4. Ange i vilka intervall grafen är konvex respektive konkav.
5. Bestäm tangentens ekvation i inflexionspunkten. Den räknar tangentkalkylatorn ut.

Om beräkningen

Kalkylatorn deriverar symboliskt och förenklar varje steg. För polynom och rationella funktioner hittas nollställena till f″ exakt. För andra funktioner, som $x·e^x$ eller sin x, söks de numeriskt mellan x = −10 och x = 10, och det står då i svaret.

Fler verktyg finns bland kalkylatorerna för analys och på matematiksidan.