Trapetsregeln

Vad är trapetsregeln?

Trapetsregeln är ett sätt att räkna ut ett närmevärde för en bestämd integral. Man delar intervallet från a till b i n lika breda delar och ersätter kurvan i varje del med en rät linje. Ytan under linjen blir en parallelltrapets, vars area är lätt att räkna ut, och integralen blir summan av alla trapetser.

Metoden används när det inte går att hitta en primitiv funktion, när funktionen bara är känd i vissa punkter eller när man vill kontrollera ett exakt svar. Går det att hitta en primitiv funktion ger bestämd integral ett exakt värde, och den primitiva funktionen visas i integralkalkylatorn.

Formeln

Med n delintervall blir bredden $h=\frac{b-a}{n}$ och punkterna $x_0=a,x_1,...,x_n=b$. Varje trapets har arean h gånger medelvärdet av de två höjderna. Lägger man ihop alla räknas varje inre punkt två gånger och ändpunkterna en gång:

$T=h·(\frac{y_0+y_n}{2}+y_1+y_2+...+y_{n-1})$

Kalkylatorn räknar också två andra regler. Mittpunktsregeln använder funktionsvärdet mitt i varje delintervall som höjd på en rektangel. Simpsons regel ersätter kurvan med parabelbågar över två delintervall i taget och väger värdena 1, 4, 2, 4, …, 4, 1. Den kräver därför att n är jämnt.

Exempel: x² från 0 till 2

Det exakta värdet är 8/3, ungefär 2,6667. Med n = 4 blir h = 0,5 och funktionsvärdena 0; 0,25; 1; 2,25 och 4. Trapetsregeln ger $\mathrm{0,5}·(\frac{0+4}{2}+\mathrm{0,25}+1+\mathrm{2,25})=$ 2,75, alltså ett fel på 0,083333. Med n = 8 blir svaret 2,6875 och med n = 16 blir det 2,671875. Felet blir ungefär fyra gånger mindre varje gång n fördubblas, från 0,083333 till 0,020833 och 0,005208.

Trapetsregeln överskattar här, eftersom kurvan böjer uppåt och de raka linjerna hamnar ovanför den. Mittpunktsregeln ger ≈ 2,625 och underskattar, men bara ungefär hälften så mycket. Simpsons regel ger exakt rätt för andragradskurvor, och den ger ≈ 2,666667 redan med n = 4.

Exempel: en integral utan primitiv funktion

Funktionen $e^{-x^2}$ har ingen primitiv funktion som går att skriva med vanliga funktioner. Med n = 10 mellan 0 och 1 ger trapetsregeln ≈ 0,746211 och Simpsons regel ≈ 0,746825. Ett mycket noggrant värde är ≈ 0,746824, så Simpsons regel är fel först på sjätte decimalen.

Mätvärden: effekt blir energi

Ofta finns ingen formel alls, bara mätningar. Har du mätt effekten från en solcellsanläggning varje timme under en dag är energin integralen av effekten över tiden. Med värdena 0; 0,4; 1,8; 3,2; 3,9; 3,5; 2,1; 0,6 och 0 kW och en timme mellan mätningarna ger trapetsregeln ≈ 15,5 kWh. Simpsons regel ger ≈ 15,466667 kWh. Vad en anläggning producerar över ett år räknar kalkylatorn för solcellsproduktion ut, och hushållets förbrukning finns i kalkylatorn för elförbrukning.

Samma sak gäller hastighet. Mäter du hastigheten var femte sekund, till exempel 0, 4, 9, 13, 16, 18 och 19 m/s, blir sträckan ungefär 347,5 meter. Enheten blir värdenas enhet gånger tidens enhet, och m/s gånger s blir m.

Hur stort blir felet?

Felet i trapetsregeln är proportionellt mot $h^2$ och mot hur mycket kurvan böjer sig. En fördubbling av n ger därför ungefär en fjärdedel så stort fel. Simpsons regel har ett fel som är proportionellt mot $h^4$, så en fördubbling ger ungefär en sextondel av felet. Är kurvan en rät linje är trapetsregeln exakt, och är den en andra- eller tredjegradskurva är Simpsons regel exakt. När det exakta värdet är okänt kan du uppskatta felet genom att räkna med både n och 2n: skillnaden mellan svaren säger ungefär hur många decimaler som går att lita på.

Vanliga fel

• Att räkna antalet punkter i stället för antalet intervall. Med 5 punkter är n = 4.
• Att glömma att ändpunkterna bara räknas till hälften i trapetsregeln.
• Att använda Simpsons regel med udda n. Den kräver ett jämnt antal intervall, alltså ett udda antal punkter.
• Att glömma att multiplicera med h på slutet.
• Att tro att mer räkning alltid ger rätt svar. Över en punkt där funktionen går mot oändligheten fungerar ingen av reglerna.

Typiska uppgifter

1. Använd trapetsregeln med fyra intervall för att uppskatta en integral. Räkna h, ställ upp en tabell med x och f(x) och sätt in i formeln.
2. Avgör om svaret är för stort eller för litet. Böjer kurvan uppåt överskattar trapetsregeln, böjer den nedåt underskattar den.
3. Uppskatta en sträcka eller en energi ur en tabell med mätvärden.
4. Jämför med det exakta värdet och räkna ut det relativa felet.

Numeriska metoder finns också för ekvationer. Där används Newton–Raphsons metod för att hitta nollställen när ingen formel ger svaret. Arean av raka figurer räknar areakalkylatorn ut.

Så gör du på räknaren

På en vanlig räknare ställer du upp tabellen själv: räkna ut h, sedan funktionsvärdena i varje punkt, och lägg ihop dem med rätt vikt. Spara gärna h i minnet så slipper du skriva det flera gånger. Många grafräknare har en inbyggd integralfunktion som ger ett noggrant närmevärde att jämföra med.

Fler kalkylatorer för integraler och numeriska metoder finns bland kalkylatorerna för analys och på matematiksidan.