Funktionsvärde

Vad är ett funktionsvärde?

En funktion är en regel som ger exakt ett utvärde för varje invärde. Invärdet kallas x, och utvärdet skrivs f(x), som utläses "f av x". Funktionsvärdet är alltså det tal regeln ger när man stoppar in ett visst x. Har du funktionen $f\left(x\right)=x^2-3x+2$ och vill veta f(4), byter du varje x mot 4 och räknar ut resultatet.

Med kalkylatorns standardvärden blir det $f\left(4\right)=4^2-3·4+2$ = 6. I grafen motsvarar det punkten (4; 6): man går 4 steg åt höger på x-axeln och läser av höjden på kurvan.

Så sätter du in ett värde

1. Skriv av funktionen, men lämna en tom parentes på varje plats där det står x.
2. Fyll i parenteserna med ditt x-värde. Parentesen behövs särskilt när värdet är negativt.
3. Räkna ut enligt prioriteringsreglerna: parenteser, potenser, multiplikation och division, sist addition och subtraktion.

Ett exempel med negativt tal: $f\left(x\right)=2x^2-x$ och x = −3. Med parenteser blir det $2·(-3{)}^2-(-3)=2·9+3$ = 21. Utan parentesen är det lätt att räkna $-3^2$ som −9, vilket ger fel svar. Ordningen mellan potens och minustecken går igenom i potenskalkylatorn.

Värdetabell

En värdetabell visar funktionsvärdet för flera x i rad. Skriver du ett enda x visar kalkylatorn också värdena för x − 2, x − 1, x + 1 och x + 2. För $x^2-3x+2$ blir tabellen runt x = 4 följande: f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 6, f(5) = 12 och f(6) = 20. Tabellen visar snabbt hur funktionen växer, och att f(2) = 0 avslöjar att x = 2 är ett nollställe. Alla nollställen räknar nollställekalkylatorn ut.

Vill du ha en egen tabell skriver du flera x-värden med semikolon emellan, till exempel −1; 0; 2,5. Semikolon används eftersom kommatecknet redan är decimaltecken.

Exempel från vardagen

Funktioner används för att beskriva hur en storhet beror av en annan. Säg att en sparburk innehåller 1 500 kr och att du tar ut 120 kr i veckan. Då är beloppet efter x veckor $f\left(x\right)=\mathrm{1 500}-120x$. Efter 5 veckor finns 900 kr kvar, efter 10 veckor 300 kr och efter 12,5 veckor 0 kr. Funktionen är linjär, och lutningen −120 är ändringen per vecka. Mer om linjära funktioner finns i k-värdeskalkylatorn. Samma typ av funktion används för att räkna ut kostnaden per mil för en bil, som milkostnadskalkylatorn gör.

Ett exempel på exponentiell tillväxt: 20 000 kr som växer med 5 % per år beskrivs av $f\left(x\right)=\mathrm{20 000}·{\mathrm{1,05}}^x$. Efter 10 år är värdet 32 578 kr. Här står x i exponenten, och funktionen växer snabbare och snabbare.

När funktionsvärdet inte finns

Alla x fungerar inte i alla funktioner. I $f\left(x\right)=\frac{1}{x-2}$ blir nämnaren 0 när x = 2, och det går inte att dela med noll. Kalkylatorn svarar då att f(2) inte är definierat och förklarar varför. Samma sak gäller roten ur negativa tal och logaritmen av tal som inte är positiva. De x som fungerar kallas funktionens definitionsmängd, och den räknar definitionsmängdskalkylatorn ut.

Vanliga fel

• Att glömma parentesen kring negativa tal. $(-3{)}^2$ är 9, men $-3^2$ är −9.
• Att tro att 3x med x = 4 betyder 34. Det betyder 3 gånger 4, alltså 12.
• Att blanda ihop f(x) och x. f(4) = 6 betyder att funktionen ger 6 när x är 4, inte att x är 6.
• Att räkna i fel ordning. Potenser räknas före multiplikation, och multiplikation före addition.
• Att använda grader i stället för radianer i sin och cos. Kalkylatorn räknar vinklar i radianer.

Typiska uppgifter

Den vanligaste uppgiften är rak insättning: "Beräkna f(3) om f(x) = 4x − 7". Svaret är 4 · 3 − 7 = 5. En variant ger svaret och frågar efter x: "För vilket x är f(x) = 13?" Då ställer du upp ekvationen 4x − 7 = 13 och löser den, vilket ger x = 5. Den omvända frågan hör ihop med inversa funktioner, som går att räkna med i kalkylatorn för invers funktion.

En annan vanlig typ är att läsa av en graf: "Bestäm f(2) med hjälp av grafen." Då går du till x = 2, uppåt eller nedåt till kurvan, och läser av y-värdet. Kalkylatorns graf visar punkten med en streckad linje ner till x-axeln, så att det syns hur avläsningen går till. Andragradsfunktioner och deras graf, parabeln, går igenom i parabelkalkylatorn.

Så skriver du funktionen

• Upphöjt: x^2 eller x². Exponenter med flera tecken skrivs inom parentes, till exempel 2^(x+1).
• Gånger kan skrivas med * eller ·, eller utelämnas: 3x, 2(x+1) och x(x−1) fungerar.
• Rot: sqrt(x) eller √x. Absolutbelopp: abs(x). Logaritmer: ln(x) och lg(x).
• Konstanterna π och e skrivs pi och e.
• Decimaltal skrivs med komma, till exempel 2,5x.

Så gör du på räknaren

På en vanlig räknare skriver du in uttrycket med talet insatt, och sätter negativa tal inom parentes. Många grafritande räknare har en funktion för att definiera f(x) och sedan räkna ut värden eller visa en tabell, men menyerna skiljer sig mellan modellerna. Kalkylatorn här ger samma svar och visar dessutom hur insättningen ser ut.

Fler kalkylatorer för funktioner finns bland kalkylatorerna för funktioner och grafer, och resten av matematiken på matematiksidan.