Vad är en invers funktion?
En funktion tar ett x och ger ett y. Den inversa funktionen gör tvärtom: den tar y och ger tillbaka det x som gav y. Inversen skrivs , och exponenten −1 betyder här "invers", inte "1 delat med". Om f(1) = 5 så är alltså .
Med f(x) = 2x + 3 blir inversen f⁻¹(x) = (x − 3)/2. Kalkylatorn kontrollerar resultatet: f(2) = 7 och f⁻¹(7) = 2. Att man kommer tillbaka till samma x är hela poängen med en invers.
Så räknar du ut inversen
- Skriv y i stället för f(x).
- Byt plats på x och y.
- Lös ut y. Det du får är .
För f(x) = 2x + 3 blir det y = 2x + 3, sedan x = 2y + 3, och till sist y = (x − 3)/2. Metoden är densamma för alla funktionstyper. Det som skiljer är vilken räkneoperation som behövs för att lösa ut y: division för linjära funktioner, rötter för potenser och logaritmer för exponentialfunktioner. Ekvationen i sista steget går också att lösa i ekvationslösaren.
Inversen till olika funktionstyper
Potensfunktioner
Inversen till f(x) = x² är roten ur x, men bara om man begränsar sig till x ≥ 0. Både 3 och −3 ger 9, så utan begränsning vet man inte vilket x man ska gå tillbaka till. Kalkylatorn anger därför definitionsmängden x ≥ 0 och visar f(3) = 9 och f⁻¹(9) = 3. För udda exponenter, som x³, behövs ingen begränsning, eftersom varje y kommer från exakt ett x. Rötter räknas ut i rotkalkylatorn.
Exponentialfunktioner och logaritmer
Exponentialfunktioner och logaritmer är varandras inverser. För delar man först med 3 och tar sedan logaritmen av båda leden. Inversen blir f⁻¹(x) = lg(x/3)/lg(2), och f(4) = 48 och f⁻¹(48) = 4. Det är samma räkning som när man frågar hur lång tid det tar för ett belopp att växa till en viss nivå. Logaritmerna räknas ut i logaritmkalkylatorn.
Åt andra hållet blir inversen till f(x) = 2 · lg(x) + 1 en tiopotens: f⁻¹(x) = 10^((x − 1)/2). Kontroll: f(100) = 5 och f⁻¹(5) = 100. Logaritmfunktionen har definitionsmängden x > 0, och det blir värdemängden för inversen.
Rationella funktioner
För f(x) = (2x + 3)/(x − 1) multiplicerar man upp nämnaren, samlar alla y på ena sidan och bryter ut y. Inversen blir f⁻¹(x) = (x + 3)/(x − 2). Funktionen har definitionsmängden x ≠ 1 och värdemängden y ≠ 2, och för inversen byter de plats. Grafiskt byter den lodräta och den vågräta asymptoten plats.
Grafen speglas i y = x
Eftersom x och y byter plats får man inversens graf genom att spegla grafen till f i linjen y = x. Punkten (1; 5) på f blir punkten (5; 1) på inversen. I kalkylatorns figur syns f, inversen och spegellinjen, och den streckade linjen visar hur en punkt speglas. Det betyder också att definitionsmängd och värdemängd byter plats. Hur man bestämmer dem visar definitionsmängdskalkylatorn.
När finns det en invers?
En funktion har en invers bara om varje y kommer från ett enda x. Man säger att funktionen är inverterbar, eller injektiv. Ett grafiskt test är att varje vågrät linje skär grafen högst en gång. En rät linje med lutning skild från noll klarar testet, liksom exponentialfunktioner och logaritmer. En parabel klarar det inte, eftersom den har samma höjd på båda sidor om symmetrilinjen. Därför begränsas definitionsmängden till ena halvan.
Exempel från vardagen
Säg att nettolönen efter skatt kan beskrivas som f(x) = 0,75x − 1 500, där x är bruttolönen i kronor. Inversen f⁻¹(x) = (x + 1 500)/0,75 svarar på den omvända frågan: vilken bruttolön krävs för en viss nettolön? Kontroll: f(30 000) = 21 000 och f⁻¹(21 000) = 30 000. Modellen är förenklad, men tanken är densamma som när man räknar baklänges från netto till brutto i brutto-netto-omvandlaren.
Vanliga fel
- Att tro att betyder . Exponenten −1 betyder invers, inte inverterat värde.
- Att glömma att byta plats på x och y, så att man bara löser ut x ur den ursprungliga funktionen.
- Att glömma att begränsa definitionsmängden för jämna potenser som x².
- Att bara dela x med a när inversen till ax + b tas fram. Hela uttrycket x − b ska delas med a: (x − b)/a, inte x/a − b.
- Att blanda ihop lg och ln. Inversen till lg(x) är , inversen till ln(x) är .
Typiska uppgifter
"Bestäm inversen till f(x) = 4x − 1" är grunduppgiften. En vanlig följdfråga är att rita f och inversen i samma koordinatsystem och kommentera symmetrin. Ytterligare en variant är att bestämma utan att först ta fram inversen: då löser man bara ekvationen f(x) = 7. Inversa trigonometriska funktioner, som arcsin och arctan, bygger på samma idé och räknas ut i kalkylatorn för invers trigonometri. Värden för funktionen räknar funktionsvärdeskalkylatorn ut.
Så gör du på räknaren
Räknare har inversknappar för de vanligaste funktionerna: roten ur för x², logaritmknapparna för exponentialfunktioner, tiopotens och e-potens för logaritmerna, och arcsin, arccos och arctan för de trigonometriska funktionerna. De ligger ofta på samma knapp som funktionen, som en andrafunktion.
Fler kalkylatorer för funktioner finns bland kalkylatorerna för funktioner och grafer och på matematiksidan.