Halveringstid

Vad är halveringstid?

Halveringstiden är den tid det tar för en mängd som minskar exponentiellt att bli hälften så stor. Efter en halveringstid är hälften kvar, efter två en fjärdedel, efter tre en åttondel och så vidare. Halveringstiden är densamma oavsett hur mycket som finns från början, och det är det som skiljer exponentiell minskning från linjär.

Begreppet används för radioaktiva ämnen, men också för hur snabbt ett ämne lämnar kroppen, hur snabbt en investering tappar i värde eller hur ljudet dör ut i ett rum. Allt som minskar med samma andel per tidsenhet har en halveringstid. Motsatsen, tiden det tar att bli dubbelt så stort vid ökning, räknar fördubblingstidskalkylatorn ut.

Formeln för halveringstid

Mängden $N$ som är kvar efter tiden $t$ ges av:

$N=N_0·(\frac{1}{2}{)}^{t/T}$

Här är $N_0$ mängden från början och $T$ halveringstiden. Kvoten $t/T$ är antalet halveringar. Efter 24 timmar med halveringstiden 6 timmar har det gått 4 halveringar, och av 200 mg är 12,5 mg kvar, alltså 6,25 %. Exponenter och potenser av 1/2 räknar potenskalkylatorn ut.

Formeln är ett specialfall av exponentiell förändring, $y=C·a^x$, med förändringsfaktorn $a=\mathrm{0,5}$ per halveringstid. Mer om den allmänna formen finns i kalkylatorn för exponentiell tillväxt.

Sönderfallskonstanten λ

Samma förlopp kan skrivas med talet $e$ och sönderfallskonstanten $\lambda$ (lambda):

$N=N_0·e^{-\lambda t},\lambda =\frac{\ln 2}{T}$

Sönderfallskonstanten anger hur stor andel som försvinner per tidsenhet när tidssteget är mycket litet. Med halveringstiden 6 timmar är $\lambda \approx \mathrm{0,116}$ per timme. Den formen är vanlig i fysik och kemi, och båda formlerna ger samma svar.

Exempel: kol-14

Kol-14 har en halveringstid på ungefär 5 730 år, och det används för att datera organiskt material. Efter 10 000 år har det gått 1,745 halveringar, och 29,83 % av den ursprungliga mängden finns kvar. Det tar ungefär 38 069 år innan bara 1 % är kvar.

Vid datering går man åt andra hållet: man mäter hur stor andel som finns kvar och räknar ut hur lång tid det har tagit. Är 25 % kvar har det gått två halveringstider, alltså drygt 11 000 år.

Exempel: ett ämne som lämnar kroppen

Anta att ett ämne i kroppen har en halveringstid på 6 timmar. Det är ett räkneexempel, och verkliga halveringstider varierar mellan ämnen och personer. Efter 12 timmar är en fjärdedel kvar, och det tar 19,93 timmar innan bara 10 % är kvar. Det förklarar varför effekten av en dos avtar gradvis och inte försvinner på en gång.

Halveringstid ur två mätningar

Har du mätt en mängd vid två tillfällen kan du räkna ut halveringstiden. Lös ut $T$ ur formeln med logaritmer: $T=t·\frac{\lg \mathrm{0,5}}{\lg (N/N_0)}$. Går en mängd från 80 till 20 på 12 timmar är kvoten 0,25, alltså två halveringar, och halveringstiden blir 6 timmar. Logaritmerna förklaras i logaritmkalkylatorn.

Halveringstid för värde och pengar

Tappar en bil ungefär hälften av sitt värde på fyra år kan man räkna med halveringstiden 4 år. En bil för 300 000 kr skulle efter sex år vara värd omkring 106 066 kr enligt den modellen. Verkliga bilpriser följer inte modellen exakt, och värdeminskningskalkylatorn för bil räknar med mer realistiska antaganden.

Samma tanke fungerar för pengars köpkraft. Vid jämn inflation halveras det som en krona räcker till efter en viss tid, och inflationskalkylatorn visar hur prisnivån faktiskt har förändrats. Inom bokföring används ofta linjär avskrivning i stället, vilket avskrivningskalkylatorn räknar på. Hur mycket något minskar med en viss procent en gång visar kalkylatorn för att minska med procent.

Varför halveringstiden är konstant

Vid exponentiellt avtagande försvinner en fast andel av det som finns, inte en fast mängd. När mängden är stor försvinner därför mycket per timme, och när den är liten försvinner lite. Resultatet blir att det alltid tar lika lång tid att gå från 100 till 50 som från 50 till 25 eller från 2 till 1. För radioaktiva ämnen beror det på att varje atom har samma chans att sönderfalla under en viss tid, oberoende av de andra atomerna. Med många atomer blir andelen som sönderfaller mycket förutsägbar, även om det är omöjligt att säga när en enskild atom gör det.

Vanliga fel

• Att tro att allt är borta efter två halveringstider. Efter två halveringar är en fjärdedel kvar, inte noll. En exponentiellt avtagande mängd når aldrig exakt noll.
• Att räkna linjärt. Efter en och en halv halveringstid är inte 25 % kvar, utan ${\mathrm{0,5}}^{\mathrm{1,5}}\approx 35$ %.
• Att blanda tidsenheter. Halveringstid och tid måste anges i samma enhet, till exempel båda i timmar.
• Att dela upp i fel riktning. Kvoten ska vara mängden kvar delat med mängden från början, och den ska vara mindre än 1.

Typiska uppgifter

1. Hur mycket är kvar efter en viss tid? Räkna antalet halveringar, $t/T$, och multiplicera startmängden med 0,5 upphöjt till det.
2. Hur lång tid tar det tills en viss andel är kvar? Sätt 0,5 upphöjt till $t/T$ lika med andelen och lös ut $t$ med logaritmer.
3. Vilken halveringstid har ämnet? Mät två gånger och lös ut $T$.
4. Hur stor andel försvinner per tidsenhet? Räkna ${\mathrm{0,5}}^{1/T}$ och dra bort det från 1.

Så gör du på räknaren

• Mängd kvar: 100 × 0,5 ^ (10000 ÷ 5730) =. Sätt parentes runt exponenten.
• Tid tills 10 % är kvar: 6 × log(0,1) ÷ log(0,5) =.
• Halveringstid ur två mätningar: 12 × log(0,5) ÷ log(20 ÷ 80) =.
• Sönderfallskonstant: ln(2) ÷ halveringstiden.

Fler kalkylatorer för funktioner finns bland kalkylatorerna för funktioner och grafer och på matematiksidan.