Tangent

Vad är en tangent?

En tangent är en rät linje som nuddar en kurva i en punkt och har samma lutning som kurvan där. Zoomar man in tillräckligt nära punkten blir kurvan och tangenten nästan omöjliga att skilja åt. Därför används tangenten för att beskriva hur en funktion beter sig precis i en viss punkt.

Ordet kommer från latinets tangere, att röra vid. En tangent kan mycket väl skära kurvan på något annat ställe längre bort. Det som gör den till tangent är bara hur den ligger i tangeringspunkten.

Så räknar man ut tangentens ekvation

Tangenten är en rät linje och skrivs därför på formen y = kx + m. Lutningen k är derivatans värde i punkten, och m bestäms så att linjen går genom punkten på grafen. Hur derivatan räknas ut, med alla regler, visar derivatakalkylatorn.

1. Räkna ut punktens y-koordinat: f(a).
2. Derivera funktionen och räkna ut lutningen k = f′(a).
3. Sätt in punkten (a; f(a)) och k i y = kx + m och lös ut m.
4. Skriv ekvationen y = kx + m.

Ett alternativ till steg 3 och 4 är enpunktsformen $y-f\left(a\right)=f\prime \left(a\right)(x-a)$, som ger samma linje direkt. Mer om räta linjer och de olika formerna finns i kalkylatorn för räta linjens ekvation.

Exempel steg för steg

Ta kalkylatorns standardexempel $f\left(x\right)=x^2-4x+5$ och punkten x = 3. Funktionsvärdet blir $f\left(3\right)=9-12+5=2$, så punkten är (3; 2). Derivatan är $f\prime \left(x\right)=2x-4$, och lutningen blir $f\prime \left(3\right)=2$.

Insättning i y = kx + m ger $2=2·3+m$, alltså m = −4. Tangentens ekvation är $y=2x-4$, och normalens ekvation är $y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$.

Lutningen k = f′(a) kallas också k-värdet. Om du har två punkter i stället för en funktion räknar k-värdeskalkylatorn ut lutningen.

Fler exempel

• $f\left(x\right)=x^3-2x$ i x = 1: $y=x-2$
• $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ i x = 4: $y=\frac{1}{4}x+1$
• $f\left(x\right)=e^x$ i x = 0: $y=x+1$
• $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ i x = 1: $y=x-1$

De två sista exemplen är spegelbilder av varandra i linjen y = x, eftersom $e^x$ och ln x är varandras inverser. Därför är deras tangenter i motsvarande punkter också spegelbilder.

Normalen

Normalen är linjen genom samma punkt som står vinkelrätt mot tangenten. Två linjer är vinkelräta när produkten av deras lutningar är −1. Normalens lutning är därför $-\frac{1}{k}$. I standardexemplet har tangenten lutningen 2, så normalen får lutningen −1/2.

Om tangenten är vågrät, k = 0, går det inte att dividera. Då är normalen lodrät och har ekvationen x = a. Med samma funktion och x = 2 ger kalkylatorn tangenten $y=1$ och normalen $x=2$. Punkten (2; 1) är parabelns vertex.

Tangent och sekant

En sekant är en linje genom två punkter på grafen. Dess lutning är ändringskvoten $\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$. Låter man den andra punkten närma sig den första, alltså låter h gå mot 0, vrider sig sekanten och blir till slut tangenten. Det är precis så derivatan definieras. Ändringskvoten för olika steg räknar ändringskvotskalkylatorn ut.

När finns ingen tangent?

• När funktionen inte är definierad i punkten, som ln x i x = 0.
• När grafen har en spets, som |x| i x = 0. Lutningen är −1 på ena sidan och 1 på den andra.
• När tangenten är lodrät, som för kubikroten ur x i origo. En lodrät linje kan inte skrivas som y = kx + m, utan har ekvationen x = a.

I de två första fallen visar kalkylatorn en varning i stället för en ekvation. Är tangenten lodrät skriver kalkylatorn den som x = a.

Vad tangenten används till

Nära tangeringspunkten är tangenten en bra approximation av funktionen. Det kallas linjär approximation. Tangenten till √x i x = 4 är y = x/4 + 1, och den ger $\sqrt{\mathrm{4,1}}\approx \mathrm{2,025}$, vilket stämmer på tre decimaler. Samma idé ligger bakom Newton–Raphsons metod, där man upprepade gånger följer tangenten ned till x-axeln för att hitta ett nollställe.

I en extrempunkt är tangenten alltid vågrät. Att söka punkter där tangenten har lutningen 0 är därför samma sak som att söka toppar och dalar, vilket extrempunktskalkylatorn gör.

Tangenten till en parabel

För en andragradsfunktion $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ blir derivatan $2ax+b$, så lutningen ändras lika mycket för varje steg i x. Det gör tangenter till parabler lätta att räkna ut för hand. En parabel ligger dessutom helt på ena sidan om varje tangent: ovanför om a är positivt och under om a är negativt. Tangenten skär alltså aldrig en parabel, den nuddar bara.

För tredjegradsfunktioner och andra kurvor gäller inte det. Där kan tangenten korsa kurvan i tangeringspunkten, vilket händer i en inflexionspunkt där grafen byter från att böja uppåt till att böja nedåt.

Vanliga fel

• Att använda f(a) som lutning. Lutningen är f′(a), funktionsvärdet ger bara punkten.
• Att låta x stå kvar i k. Lutningen ska vara ett tal, så derivatan måste räknas ut i punkten.
• Att glömma att räkna ut m. Ekvationen y = 2x är bara rätt om linjen går genom origo.
• Att ta normalens lutning som −k i stället för −1/k.

Typiska uppgifter

1. Bestäm tangentens ekvation i en given punkt.
2. Bestäm var tangenten har en viss lutning, till exempel parallell med linjen y = 3x. Lös då f′(x) = 3.
3. Bestäm var tangenten skär axlarna. Sätt x = 0 för m-värdet och y = 0 för skärningen med x-axeln.
4. Bestäm normalens ekvation.
5. Bestäm vilken tangent som går genom en punkt utanför grafen.

Så skriver du funktionen och punkten

Skriv upphöjt med ^, till exempel x^3. Rötter skrivs sqrt(x), den naturliga logaritmen ln(x) och e^x för exponentialfunktionen. Punkten kan vara ett heltal, ett decimaltal eller ett bråk som 1/2. Trigonometriska funktioner räknas i radianer, så skriv pi/4 för 45 grader.

Fler verktyg finns bland kalkylatorerna för analys och på matematiksidan.