Ändringskvot

Vad är en ändringskvot?

En ändringskvot anger hur mycket något förändras i genomsnitt per enhet av något annat. Den skrivs $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, där Δ, den grekiska bokstaven delta, betyder förändring. Kör en bil 150 km på 2 timmar är ändringskvoten för sträckan 75 km/h, alltså medelhastigheten. Med en ändringskvot jämför man förändringar som skett under olika långa tider eller sträckor.

Geometriskt är ändringskvoten lutningen på den räta linje som går genom två punkter på en graf. Den linjen kallas sekant. För en rät linje är ändringskvoten densamma överallt och kallas k-värde, se k-värdeskalkylatorn. För en kurva beror den på vilka två punkter man väljer.

Formeln

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Ordningen spelar ingen roll så länge du tar samma punkt först i både täljare och nämnare. Enheten blir y-enheten delat med x-enheten: km per timme, kronor per år eller grader per minut.

Exempel med enheter

En bil har kört 60 km efter 1 timme och 210 km efter 3 timmar. Ändringskvoten blir $\frac{210-60}{3-1}=\frac{150}{2}$ = 75 km/h. Det är medelhastigheten mellan de två tidpunkterna, men säger inget om hur fort bilen körde vid ett visst ögonblick. Medelhastighet med flera delsträckor räknar genomsnittshastighetskalkylatorn ut.

Ett kaffe som är 20 °C varmare än rummet efter 0 minuter och 8 °C varmare efter 4 minuter ger ändringskvoten −3 °C/min. Minustecknet betyder att temperaturskillnaden minskar. En negativ ändringskvot betyder alltid att y minskar när x ökar.

Ändringskvot för en funktion

För $f\left(x\right)=x^2$ mellan x = 1 och x = 3 är f(1) = 1 och f(3) = 9, så ändringskvoten blir $\frac{9-1}{3-1}$ = 4. Krymper man intervallet närmar sig ändringskvoten ett bestämt tal. Mellan 1 och 1,1 blir den 2,1, och mellan 1 och 1,01 blir den 2,01. Talet den närmar sig är derivatan i punkten, här 2.

Det är precis så derivatan definieras: som gränsvärdet av ändringskvoten när Δx går mot 0. Derivatan ger lutningen på tangenten, medan ändringskvoten ger lutningen på sekanten. Derivatan räknar derivatakalkylatorn ut, och tangenten tangentkalkylatorn. Kalkylatorn jämför med derivatan mitt i intervallet. För en andragradsfunktion är de exakt lika, vilket är en känd egenskap hos parabler. För andra kurvor skiljer de sig. För $\mathrm{1 000}·{\mathrm{1,05}}^x$ mellan x = 0 och x = 10 är ändringskvoten ungefär 62,89, medan derivatan mitt i intervallet är ungefär 62,269987. Skillnaden blir mindre ju kortare intervallet är, och den försvinner helt när intervallet krymper mot en enda punkt.

Ändringskvot ur en tabell

Har du mätvärden i en tabell kan du räkna ändringskvoten för varje intervall. Med tiderna 0, 1, 2 och 4 timmar och sträckorna 0, 50, 130 och 290 km blir den genomsnittliga ändringskvoten över hela tabellen 72,5 km/h. Tabellen i kalkylatorn visar att hastigheten varierar: 50 km/h under första timmen, 80 km/h under andra och 80 km/h under de två sista timmarna. Det är den genomsnittliga ändringen i varje intervall som syns, inte förändringen i varje ögonblick.

Att den genomsnittliga ändringskvoten över hela tabellen ligger mellan det lägsta och det högsta intervallet är ingen slump. Den är ett vägt medelvärde av intervallens ändringskvoter, där varje intervall väger lika mycket som dess längd i x. Långa intervall påverkar alltså mer än korta.

Att läsa av en ändringskvot i en graf

I en graf väljer du två punkter på kurvan, läser av deras koordinater och räknar ut kvoten. Välj punkter som går lätt att läsa av, gärna där kurvan skär rutnätets linjer. Rita gärna sekanten genom punkterna: ju brantare den är, desto större är ändringskvoten. Lutar den nedåt åt höger är ändringskvoten negativ. Kalkylatorns figur visar sekanten tillsammans med Δx och Δy, så att du ser vilka sträckor som delas med varandra.

Ändringskvot och procentuell förändring

Ändringskvoten anger förändringen i absoluta tal per enhet, medan procentuell förändring anger hur stor förändringen är jämfört med startvärdet. Växer ett sparande från 1 000 kr enligt $\mathrm{1 000}·{\mathrm{1,05}}^x$ är ändringskvoten över de första tio åren ungefär 62,89 kr per år, fast tillväxten är 5 procent varje år. Den procentuella förändringen räknar kalkylatorn för procentuell förändring ut.

Vanliga fel

• Att blanda ordning: $\frac{y_2-y_1}{x_1-x_2}$ ger fel tecken.
• Att glömma enheten. En ändringskvot utan enhet är svår att tolka.
• Att tro att ändringskvoten anger värdet i en punkt. Den är ett medelvärde över intervallet.
• Att dela Δx med Δy i stället för tvärtom.
• Att blanda ihop ändringskvot och procentuell förändring.

Typiska uppgifter

1. Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten mellan två tidpunkter och tolka svaret med enhet.
2. Läs av två punkter i en graf och beräkna ändringskvoten.
3. Beräkna ändringskvoten för en funktion i allt mindre intervall och uppskatta derivatan.
4. Jämför ändringskvoten i två olika intervall och avgör var förändringen är snabbast.

Ändringskvoter finns i vardagen, till exempel i löpning, där tempot är tid per kilometer. Det räknar löptempokalkylatorn ut.

Så gör du på räknaren

Skriv hela bråket med parenteser runt täljare och nämnare, till exempel (210 − 60) ÷ (3 − 1). Utan parenteser räknar räknaren divisionen först och svaret blir fel.

Fler kalkylatorer för derivator, integraler och gränsvärden finns bland kalkylatorerna för analys och på matematiksidan.