Kortlek – sannolikhet att dra kort

En kortlek i siffror

En vanlig kortlek har 52 kort i fyra färger: hjärter, ruter, klöver och spader. Varje färg har 13 valörer från ess till kung. Det ger 4 ess, 13 kort av varje färg, 12 klädda kort (knekt, dam och kung) och 26 röda och 26 svarta kort. Kalkylatorn har dessa grupper förvalda, och du kan också ange ett eget antal, till exempel 8 för alla ess och kungar.

Det som skiljer kortlekar från tärningar och mynt är att korten inte läggs tillbaka. När ett ess har dragits finns bara 3 ess kvar bland 51 kort, och chansen för nästa kort ändras. Dragningarna är alltså inte oberoende, och det kräver en annan sorts räkning än för tärningar.

Antal möjliga händer

Spelar ordningen ingen roll räknas antalet möjliga händer med kombinationer. Fem kort ur 52 kan väljas på $C(52,5)=\mathrm{2 598 960}$ sätt. Två kort ur 52 kan väljas på $C(52,2)=1326$ sätt. Om ordningen spelar roll, till exempel när korten läggs ut i tur och ordning, blir det fler möjligheter. Det räknas med permutationer.

Hypergeometrisk fördelning

Säg att leken har $K$ kort av den sort du vill ha och att du drar $n$ kort. Chansen för exakt $j$ träffar är antalet sätt att välja $j$ av de $K$ rätta korten, gånger antalet sätt att välja resten bland de $52-K$ andra, delat med alla möjliga händer:

$P\left(j\right)=\frac{C(K,j)·C(52-K,n-j)}{C(52,n)}$

Den här fördelningen kallas hypergeometrisk. Den är motsvarigheten till binomialfördelningen när man drar utan återläggning.

Exempel: ess på fem kort

Hur stor är chansen att få minst ett ess bland fem kort? Räkna via motsatsen. Att inte få något ess betyder att alla fem korten kommer från de 48 som inte är ess: $C(48,5)=\mathrm{1 712 304}$ händer. Chansen för inget ess är $\frac{\mathrm{1 712 304}}{\mathrm{2 598 960}}\approx \mathrm{0,659}$, och minst ett ess blir 34,12 %. Exakt två ess har chansen 3,99 %, ungefär 1 på 25.

Exempel: två kort i rad

Chansen att de två första korten båda är ess kan räknas med multiplikationsprincipen. Det första är ess med chansen $\frac{4}{52}$. Är det ess finns 3 kvar bland 51, så det andra blir ess med chansen $\frac{3}{51}$. Tillsammans blir det $\frac{4}{52}·\frac{3}{51}=\frac{12}{2652}=\frac{1}{221}$, alltså 0,452 %. Med återläggning hade svaret blivit $(\frac{4}{52}{)}^2=\frac{1}{169}$, vilket är högre. Två röda kort ger på samma sätt $\frac{26}{52}·\frac{25}{51}$ = 24,51 %, en aning mindre än en fjärdedel.

Ett bestämt kort, till exempel spader dam, hamnar i en hand på 13 kort med chansen 13/52 = 25 %. Det är rimligt: korten delas ut till fyra spelare, och damen hamnar hos någon av dem.

Väntat antal träffar

Kalkylatorn visar också hur många träffar du kan vänta dig i genomsnitt. Det är andelen sådana kort i leken gånger antalet kort du drar: $n·\frac{K}{52}$. Med fem kort och fyra ess blir det $5·\frac{4}{52}\approx \mathrm{0,38}$ ess per hand. Det betyder inte att en hand innehåller drygt en tredjedels ess, utan att man i genomsnitt får ungefär ett ess per två till tre händer. Väntevärdet blir detsamma med och utan återläggning, men spridningen blir mindre när korten inte läggs tillbaka.

Pokerhänder

I pokerläget visar kalkylatorn hur många av de 2 598 960 möjliga händerna med fem kort som ger varje kombination. Ungefär varannan hand blir bara högt kort. Därefter är ett par vanligast, med 42,26 %. Kåk har chansen 0,144 %, 1 på 694. Royal straight flush finns bara i fyra varianter, en per färg, och har chansen 1 på 649 740. Fem kort i samma färg, till exempel hjärter, kan väljas på $C(13,5)=1287$ sätt per färg, vilket ger 0,05 % för just hjärter.

Siffrorna gäller de fem första korten. I spelvarianter där man byter kort eller kombinerar egna kort med gemensamma blir sannolikheterna andra. Sannolikheter beskriver vad som händer i det långa loppet. Vilka kort som kommer styrs helt av slumpen, och sannolikheterna går inte att påverka med något system.

Vanliga fel

• Att glömma att korten inte läggs tillbaka. Chansen för andra esset är 3/51, inte 4/52.
• Att multiplicera med 5 för fem kort. Chansen för minst ett ess är inte 5 · 4/52, eftersom flera ess kan komma i samma hand.
• Att blanda ihop "exakt" och "minst". Minst ett ess inkluderar händer med två, tre och fyra ess.
• Att räkna med ordning när den inte spelar roll. Då blir både täljare och nämnare för stora, och det fungerar bara om man gör likadant i båda.

Typiska uppgifter

Uppgifter om kort brukar ha två steg. Först dras ett eller två kort, och frågan gäller sannolikheten för en viss följd. Då ritas ett träddiagram där sannolikheterna på andra nivån beror på vad som dragits först. Sedan kan frågan vändas: givet att andra kortet var rött, vad är chansen att det första var rött? Det leder vidare till betingad sannolikhet och Bayes sats. Jämförelsen med dragningar där korten läggs tillbaka, som är oberoende händelser, finns i kalkylatorn för oberoende händelser.

Sannolikheter för kort kan också uttryckas som odds, alltså gynnsamma mot ogynnsamma. Hur det räknas om visar oddskalkylatorn. Grunden finns i sannolikhetskalkylatorn, och en jämförelse med vinstchanser i lotterier i lotterikalkylatorn. Fler verktyg finns bland kalkylatorerna för sannolikhet och kombinatorik och på matematiksidan.