Myntkast – sannolikhet för krona och klave

Myntkast som sannolikhet

Ett rättvist mynt har två utfall, krona och klave, med chansen 1/2 var. Varje kast är oberoende av de andra, och det gör myntet till det enklaste exemplet på slump. Trots det dyker det upp frågor som är svåra att svara på i huvudet: hur troligt är det att få exakt 5 krona på 10 kast, eller 5 krona i rad någon gång under 10 kast?

Kalkylatorn har två lägen. Antal krona räknar hur många kast totalt som blir krona, utan hänsyn till ordningen. Flera i rad räknar chansen för en obruten serie. Chansen för krona per kast går att ändra, och då fungerar kalkylatorn för alla försök med två utfall, till exempel om ett frö gror eller inte.

Alla följder är lika troliga

Med $n$ kast finns $2^n$ möjliga följder, och med ett rättvist mynt är alla lika troliga. Tre kast ger $2^3=8$ följder: KKK, KKL, KLK, LKK, KLL, LKL, LLK och LLL, där K är krona och L klave. Chansen för tre krona är alltså 1/8, 12,5 %. Följden KKKKKKKKKK är precis lika trolig som KLLKLKKLKL. Det som skiljer är att det finns många följder med ungefär hälften krona, men bara en med enbart krona.

Exakt k krona på n kast

Antalet följder med exakt $k$ krona är antalet sätt att välja ut vilka $k$ av de $n$ kasten som blir krona, alltså kombinationer $C(n,k)$. Varje sådan följd har sannolikheten $p^k·(1-p{)}^{n-k}$. Tillsammans blir det binomialformeln:

$P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p{)}^{n-k}$

Med 10 kast och $p=\mathrm{0,5}$ finns $C(10,5)=252$ följder med exakt 5 krona av totalt 1 024. Chansen blir 24,61 %. Att få exakt hälften är alltså det vanligaste, men det händer bara ungefär var fjärde gång. Minst 8 krona av 10 har chansen 5,47 %. Samma formel används i binomialfördelningskalkylatorn, som klarar valfri sannolikhet per försök.

Väntevärde och spridning

Väntevärdet är $n·p$, alltså 5 krona på 10 kast och 50 på 100 kast. Standardavvikelsen är $\sqrt{n·p·(1-p)}$, vilket blir 1,58 på 10 kast och 5 på 100 kast. Spridningen växer alltså långsammare än antalet kast. På 100 kast hamnar man oftast mellan 40 och 60 krona, men chansen för exakt 50 är bara 7,96 %. Andelen krona närmar sig 50 % när antalet kast ökar, men skillnaden i antal behöver inte bli mindre.

Flera i rad

En serie på 5 krona i bestämda kast har chansen ${\mathrm{0,5}}^5=\frac{1}{32}$, ungefär 3,1 %. Men på 10 kast kan serien börja på flera ställen, och då blir chansen att den dyker upp någonstans större. Kalkylatorn ger 10,94 % för minst 5 krona i rad på 10 kast. Räknar man med samma sida, krona eller klave, blir chansen 21,68 %.

Serier går inte att räkna med en enkel formel, eftersom de kan överlappa. Kalkylatorn följer därför kast för kast hur lång den pågående serien är. Resultatet överraskar ofta: på 100 kast är chansen för minst 6 krona i rad 54,61 %. Långa serier är alltså inget tecken på att myntet är falskt.

Skeva mynt och andra ja/nej-försök

Allt som har två utfall med samma chans varje gång fungerar som ett mynt, även när chansen inte är 50 %. Säg att en straffläggare sätter 80 % av straffarna och skjuter 10 gånger. Ställ in 80 % som chans för krona och 10 kast, så räknar kalkylatorn ut chansen för till exempel minst 9 mål. Väntevärdet blir 8 och standardavvikelsen $\sqrt{10·\mathrm{0,8}·\mathrm{0,2}}\approx \mathrm{1,26}$. Det enda kravet är att försöken är oberoende och att chansen är densamma varje gång.

Vanliga missförstånd

• Spelarens felslut. Efter fem krona i rad är chansen för klave fortfarande 50 %. Myntet har inget minne, och det "väger inte upp" tidigare kast.
• Att tro att slumpen ser jämn ut. Verklig slump brukar ha fler och längre serier än de följder folk skriver när de försöker hitta på något som ser slumpmässigt ut.
• Att blanda ihop följd och antal. KKKKK är lika trolig som KLKLK, men "5 krona" är mindre troligt än "3 krona och 2 klave", eftersom det senare kan ske på fler sätt.
• Att lägga ihop chanser för serier som överlappar. Två möjliga startpunkter ger inte dubbelt så stor chans.

Att kasten inte påverkar varandra är kärnan i begreppet oberoende, som förklaras närmare i kalkylatorn för oberoende händelser.

Typiska uppgifter

"Ett mynt kastas tre gånger. Vad är sannolikheten för minst en krona?" Räkna via motsatsen: ingen krona är LLL med chansen 1/8, så minst en krona blir 7/8. "Vad är sannolikheten för exakt två krona på fyra kast?" Det finns $C(4,2)=6$ följder av 16, så svaret är 6/16 = 3/8. I uppgifter med träddiagram ritas en gren per kast, och sannolikheten för en följd är produkten längs grenarna.

Ett myntkast fungerar också som jämförelse för andra slumpfrågor. Chansen att få tvillingar, som tvillingkalkylatorn handlar om, eller att en tärning visar jämnt tal i tärningskalkylatorn, räknas med samma regler. Grunderna finns i sannolikhetskalkylatorn. Vill du kasta ett digitalt mynt kan du använda en slumptalsgenerator. Fler verktyg finns bland kalkylatorerna för sannolikhet och kombinatorik och på matematiksidan.