Tärning – sannolikhet för summa och utfall

Sannolikhet med tärningar

En vanlig sexsidig tärning har sex utfall som är lika troliga, så chansen för varje sida är 1/6, ungefär 16,7 %. Med flera tärningar blir det fler utfall att hålla reda på, och då är det lätt att räkna fel. Kalkylatorn går igenom alla kombinationer och räknar ut tre saker: chansen för en viss summa, chansen att ett visst antal tärningar visar ett bestämt tal, och chansen att alla tärningar visar samma tal.

Grunden är den klassiska definitionen: sannolikheten är antalet gynnsamma utfall delat med antalet möjliga, när alla utfall är lika troliga. Det är samma princip som i den allmänna sannolikhetskalkylatorn.

Hur många utfall finns det?

Varje tärning kan landa på lika många sätt som den har sidor. Kastar du flera tärningar multipliceras möjligheterna, enligt multiplikationsprincipen. Två sexsidiga tärningar ger $6·6=36$ utfall, tre ger $6^3=216$ och fem ger $6^5=7776$. Formeln är $s^n$, där $s$ är antalet sidor och $n$ antalet tärningar.

Det viktiga är att tärningarna räknas som olika, även om de ser likadana ut. Att den första visar 1 och den andra 6 är ett annat utfall än att den första visar 6 och den andra 1. Det är just därför vissa summor är vanligare än andra.

Varför är 7 vanligast med två tärningar?

Summan 7 kan bildas på sex sätt: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 och 6+1. Det ger 6 gynnsamma av 36 möjliga, alltså 16,67 % eller 1 på 6. Summan 12 kan bara bildas på ett sätt, 6+6, och har därför chansen 2,78 %, 1 på 36. Ju närmare mitten en summa ligger, desto fler kombinationer ger den, och fördelningen blir en trappa som är högst vid 7.

• Summa 2 eller 12: 1 sätt var
• Summa 3 eller 11: 2 sätt var
• Summa 4 eller 10: 3 sätt var
• Summa 5 eller 9: 4 sätt var
• Summa 6 eller 8: 5 sätt var
• Summa 7: 6 sätt

Lägg ihop och du får 36. Chansen för minst 10 med två tärningar är 3 + 2 + 1 = 6 sätt, alltså 16,67 %. Med tre tärningar är 10 och 11 de vanligaste summorna. Summan 10 kan bildas på 27 av 216 sätt, vilket ger 12,5 %. Ju fler tärningar, desto mer liknar fördelningen en klockformad kurva.

Minst en sexa

Frågan "hur stor är chansen att få minst en sexa på fyra kast?" löses enklast via motsatsen. Chansen att en tärning inte visar sexa är 5/6. Att ingen av fyra visar sexa blir $(\frac{5}{6}{)}^4\approx \mathrm{0,482}$, eftersom tärningarna är oberoende. Minst en sexa är resten: $1-\mathrm{0,482}\approx \mathrm{0,518}$. Kalkylatorn ger 51,77 %, alltså lite bättre än jämnt.

När frågan gäller minst två sexor räcker inte motsatsen lika enkelt. Då används binomialfördelningen, där varje tärning är ett försök som lyckas med chansen 1/6. Med fem tärningar blir chansen för minst två sexor 19,62 %. Antalet sätt att välja ut vilka tärningar som visar sexa räknas med kombinationer, $C(n,k)$.

Alla tärningar visar samma tal

Den första tärningen får visa vad som helst. Varje följande tärning måste visa samma tal, med chansen 1/6 var. Med fem tärningar blir det $(\frac{1}{6}{)}^4=\frac{6}{7776}$, 0,0772 % eller 1 på 1 296. Det är chansen för yatzy på ett enda kast. I spelet får man kasta upp till tre gånger per runda och spara tärningar mellan kasten, och det gör chansen betydligt högre än på ett kast.

Vanliga fel

• Att lägga ihop sannolikheter. Chansen för minst en sexa på fyra kast är inte 4 · 1/6 = 4/6. Räknar man så blir sex kast 100 %, och sju kast mer än 100 %, vilket är omöjligt.
• Att räkna tärningarna som likadana. 1+6 och 6+1 är två olika utfall. Glömmer man det blir 7 lika vanlig som 12.
• Spelarens felslut. Efter fem kast utan sexa är chansen för sexa på nästa kast fortfarande 1/6. Tärningen minns inte vad den visat.
• Att blanda ihop "minst" och "exakt". Minst 10 tar med 10, 11 och 12. Exakt 10 gör det inte.

Att tärningskast inte påverkar varandra kallas oberoende. Den som vill räkna med flera oberoende händelser, och rita träddiagram, kan använda kalkylatorn för oberoende händelser.

Typiska uppgifter

En vanlig uppgift är att rita en tabell med 6 rader och 6 kolumner, där varje ruta är summan av två tärningar, och sedan räkna rutorna som uppfyller villkoret. Tabellen gör det tydligt att det finns 36 lika troliga utfall. En annan typ frågar efter sannolikheten att summan är jämn. Exakt hälften av rutorna har jämn summa, så svaret är 18/36 = 1/2. En tredje typ gäller produkten i stället för summan, och den löses med samma tabell.

Uppgifter med "minst en" löses nästan alltid via motsatsen: räkna ut chansen för ingen, och dra den från 1. Det är snabbare och minskar risken för fel.

Tärningar i spel

I brädspel där man går fram med två tärningar hamnar man oftast 6, 7 eller 8 steg bort, och det påverkar vilka rutor som är mest besökta. I rollspel används tärningar med 4, 8, 10, 12 och 20 sidor. En T20 har 20 lika troliga utfall, så chansen att slå minst 15 är 6/20 = 30 %. Två T6 ger en helt annan fördelning än en T12, trots att båda kan ge 12: med två tärningar hamnar summan oftare i mitten, medan en T12 är lika trolig på alla tal.

Vill du simulera kast i stället för att räkna kan du använda en slumptalsgenerator. För andra sorters slump finns myntkastkalkylatorn, och för vardagliga slumpfrågor kalkylatorn för sammanträffanden och lotterikalkylatorn. Fler verktyg finns bland kalkylatorerna för sannolikhet och kombinatorik och på matematiksidan.