Oberoende händelser – sannolikhet för och, eller och ingen

Vad är oberoende händelser?

Två händelser är oberoende om den ena inte påverkar chansen för den andra. Två tärningar som kastas samtidigt, två myntkast i rad eller regn i Malmö och en sexa på en tärning är exempel. Vet du hur den ena gick ändras inte sannolikheten för den andra.

Motsatsen är beroende händelser. Dras två kort ur en lek utan att det första läggs tillbaka är dragningarna beroende, eftersom leken har ändrats. Om det regnar är det troligare att någon tar med paraply, så de två händelserna hänger ihop.

Formlerna

För oberoende händelser gäller multiplikationssatsen: sannolikheten att båda inträffar är produkten av deras sannolikheter.

• Båda inträffar: P(A och B) = P(A) · P(B)
• Ingen inträffar: (1 − P(A)) · (1 − P(B))
• Minst en inträffar: 1 − (1 − P(A)) · (1 − P(B))
• Additionssatsen, som alltid gäller: P(A eller B) = P(A) + P(B) − P(A och B)

Varför multipliceras sannolikheterna? Tänk på 100 försök. A inträffar i ungefär $100·P\left(A\right)$ av dem. Eftersom B inte bryr sig om A inträffar B i andelen $P\left(B\right)$ av just de försöken. Det ger $100·P\left(A\right)·P\left(B\right)$ försök där båda inträffar.

I additionssatsen dras snittet bort för att det annars räknas två gånger, en gång bland A-fallen och en gång bland B-fallen. Satsen gäller även för beroende händelser, men bara för oberoende kan snittet räknas ut som en produkt.

Exempel med två händelser

Säg att A har chansen 50 % och B 30 %. Båda inträffar med chansen $\mathrm{0,5}·\mathrm{0,3}=\mathrm{0,15}$, alltså 15 %. Ingen inträffar med $\mathrm{0,5}·\mathrm{0,7}=\mathrm{0,35}$, och minst en med $1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}$, 65 %. Exakt en blir 50 %: det är minst en minus båda. Kontrollera gärna med additionssatsen: $\mathrm{0,5}+\mathrm{0,3}-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,65}$.

Två sexor med två tärningar är $\frac{1}{6}·\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$, eller 2,78 %. Minst en sexa är 30,56 %, och exakt en sexa 27,78 %. Samma sak räknas på andra sätt i tärningskalkylatorn.

Tre händelser

Med tre oberoende händelser fungerar samma regler. Med 50 %, 30 % och 20 % blir chansen att alla tre inträffar $\mathrm{0,5}·\mathrm{0,3}·\mathrm{0,2}=\mathrm{0,03}$, alltså 3 %. Ingen av dem inträffar med $\mathrm{0,5}·\mathrm{0,7}·\mathrm{0,8}=\mathrm{0,28}$, så minst en blir 72 %. Exakt en av tre blir 47 %. Den räknas som summan av tre fall: bara A, bara B och bara C.

Träddiagram

Ett träddiagram ritar varje händelse som en förgrening. Från starten går en gren till A och en till inte A. Från var och en av dem går nya grenar till B och inte B. Sannolikheten för en hel väg genom trädet är produkten av sannolikheterna längs vägen, och sannolikheterna för alla slutpunkter tillsammans är 1. Kalkylatorn ritar trädet för två händelser.

För oberoende händelser har grenarna på andra nivån samma sannolikheter oavsett vad som hände först. Det syns tydligt i trädet: B har 30 % både efter A och efter inte A. Den som läser ett träd baklänges, från slutpunkterna, kan också se hur stor del av alla B-fall som kommer från grenen A. Det är just den frågan som betingad sannolikhet handlar om. För beroende händelser, som kort utan återläggning i kortlekskalkylatorn, skiljer sig sannolikheterna mellan grenarna.

Är händelserna oberoende?

I kontrolläget anger du P(A), P(B) och hur ofta båda inträffar tillsammans. Om P(A och B) är lika med P(A) · P(B) är händelserna oberoende. Med 50 % och 30 % ska båda inträffa i 15 % av fallen. Stämmer det blir svaret oberoende, och då är $P\left(A\right|B)$ = 50 %, samma som P(A). Uppmäts i stället 25 % är händelserna beroende: de inträffar oftare tillsammans än slumpen ger, och chansen för A när B har inträffat blir 83,33 %.

Betingad sannolikhet, alltså chansen för A när man vet att B har inträffat, är grunden i Bayes sats, som vänder på frågan och räknar ut $P\left(A\right|B)$ ur $P\left(B\right|A)$.

Vanliga fel

• Att lägga ihop i stället för att multiplicera. Chansen för två sexor är inte 1/6 + 1/6.
• Att lägga ihop utan att dra bort snittet. 50 % + 30 % = 80 % är fel svar på "A eller B" om de kan inträffa samtidigt.
• Att tro att oberoende och oförenliga är samma sak. Oförenliga händelser kan inte inträffa samtidigt, så de är tvärtom starkt beroende: inträffar den ena är den andra omöjlig.
• Att anta oberoende utan skäl. Regn och paraplyförsäljning hänger ihop, och då ger produkten fel svar.

Typiska uppgifter

"En lampa går sönder under ett år med chansen 10 %. Hur stor är chansen att minst en av tre lampor går sönder?" Lösningsgång: ingen går sönder med ${\mathrm{0,9}}^3=\mathrm{0,729}$, så minst en blir $1-\mathrm{0,729}=\mathrm{0,271}$, alltså 27,1 %. En annan klassisk uppgift gäller ett system med två delar i rad, där båda måste fungera. Fungerar varje del med 95 % blir systemet $\mathrm{0,95}·\mathrm{0,95}\approx \mathrm{0,90}$. Kopplas delarna parallellt räcker det att en fungerar, och då blir chansen $1-{\mathrm{0,05}}^2=\mathrm{0,9975}$.

Samma regler används i vardagsfrågor om slump, som i kalkylatorn för sammanträffanden och tvillingkalkylatorn. Upprepade försök av samma sort, som myntkast, finns i myntkastkalkylatorn, och antal sätt att kombinera utfall i kombinationskalkylatorn. Grunderna finns i sannolikhetskalkylatorn. Fler verktyg finns bland kalkylatorerna för sannolikhet och kombinatorik och på matematiksidan.