Poissonfördelning – sannolikheten för k händelser

Vad är Poissonfördelningen?

Poissonfördelningen beskriver antalet händelser som inträffar under en viss tid eller inom ett visst område, när händelserna kommer slumpmässigt och oberoende av varandra. Det enda man behöver veta är medelantalet, som brukar betecknas med den grekiska bokstaven $\lambda$ (lambda). Typiska exempel är antalet samtal till en kundtjänst under en timme, antalet mål i en fotbollsmatch eller antalet fel på en meter tyg.

För att fördelningen ska passa bra bör några antaganden gälla:

• Händelserna inträffar en och en, aldrig exakt samtidigt.
• En händelse påverkar inte när nästa kommer, de är oberoende.
• Medelantalet per tidsenhet är konstant under perioden du räknar på.
• Det finns ingen övre gräns för hur många händelser som kan inträffa.

Formeln

Sannolikheten för exakt $k$ händelser är:

$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k·e^{-\lambda }}{k!}$

Här är $e\approx \mathrm{2,718}$ basen för den naturliga logaritmen och $k!$ fakulteten av $k$, som fakultetskalkylatorn räknar ut. Både väntevärdet och variansen är lika med $\lambda$, så standardavvikelsen blir $\sqrt{\lambda }$. Att medelvärde och varians är lika är ett kännetecken för Poissonfördelningen, och kan användas för att kontrollera om ett datamaterial passar. Jämför medelvärdet med variansen i dina data: är variansen mycket större passar modellen sämre.

Varifrån formeln kommer

Poissonfördelningen är ett gränsfall av binomialfördelningen. Dela upp en timme i väldigt många korta intervall, säg $n$ stycken, där det i varje intervall antingen kommer ett samtal eller inte, med den lilla sannolikheten $p=\frac{\lambda }{n}$. Antalet samtal blir då binomialfördelat. Låter man $n\to \infty$ medan $n·p=\lambda$ hålls fast, går binomialsannolikheterna mot Poissonformeln. Faktorn $e^{-\lambda }$ kommer från gränsvärdet $(1-\frac{\lambda }{n}{)}^n\to e^{-\lambda }$, samma gränsvärde som dyker upp i exponentiell tillväxt och avtagande.

Exempel: samtal till kundtjänst

En kundtjänst får i snitt 3 samtal per kvart. Sannolikheten för exakt 5 samtal en viss kvart är $\frac{3^5·e^{-3}}{5!}$ ≈ 10,08 %. Chansen att det inte kommer något samtal alls är $e^{-3}$ ≈ 4,98 %. Mest sannolikt är 2 och 3 samtal, som är lika troliga när $\lambda$ är ett heltal.

Chansen för högst 2 samtal är 42,32 %, och chansen för minst 6 är 8,39 %. Det sista är användbart för bemanning: om en person klarar 5 samtal per kvart blir det överbelastning ungefär var tolfte kvart.

Exempel: mål i en fotbollsmatch

Anta att ett lag gör i snitt 1,4 mål per match. Chansen att laget inte gör något mål är 24,66 %, och chansen att det gör minst 3 mål är 16,65 %. Modellen är en förenkling, eftersom målchanser inte är helt oberoende och lagets form varierar, men den används ofta som en första uppskattning.

Exempel: byta tidsperiod

Medelantalet måste gälla för precis den period du frågar om. Kommer det i snitt 12 bilar i timmen och du frågar om en halvtimme, är $\lambda =12·\mathrm{0,5}=6$. Chansen för minst 10 bilar under halvtimmen blir då 8,39 %. Kalkylatorn har ett fält för antal perioder som gör omräkningen åt dig. Det fungerar åt båda hållen: 12 bilar i timmen blir 0,2 bilar per minut, och då är chansen att en viss minut är helt utan bilar $e^{-\mathrm{0,2}}\approx 82$ %.

Tiden mellan händelserna

Poissonfördelningen säger också något om väntetiden. Att ingen händelse inträffar under tiden $t$ har sannolikheten $e^{-\lambda t}$, där $\lambda$ nu är medelantalet per tidsenhet. Med 3 samtal per kvart är chansen att vänta mer än en kvart på nästa samtal $e^{-3}\approx 5$ %, och chansen att vänta mer än fem minuter, en tredjedels kvart, är $e^{-1}\approx 37$ %. Den genomsnittliga väntetiden är $\frac{1}{\lambda }$, här en tredjedels kvart. Väntetiden har ingen minneseffekt: har det redan gått tio minuter utan samtal är chansen för ett samtal de närmaste fem minuterna precis lika stor som från början.

Vanliga fel

• Att använda fel $\lambda$. Medelantalet måste skalas om till den tid eller yta som frågan gäller.
• Att räkna "minst k" genom att summera uppåt. Fördelningen har ingen övre gräns, så använd motsatsen: $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$.
• Att blanda ihop "högst" och "färre än". Högst 2 tar med 2, färre än 2 betyder högst 1.
• Att använda Poisson när händelserna klumpar ihop sig, till exempel köer som bildas för att många kommer samtidigt efter ett evenemang.

Typiska provuppgifter

En vanlig uppgift anger ett medelantal och frågar efter chansen för ett visst antal. Lösningsgången är att bestämma $\lambda$ för rätt period, sätta in i formeln och räkna. Frågar uppgiften efter "minst ett" är svaret alltid $1-e^{-\lambda }$, vilket är snabbt att räkna för hand.

En annan typ jämför med binomialfördelningen: 500 personer köper var sin lott med vinstchansen 1 på 250, hur stor är chansen att exakt 2 vinner? Här är $\lambda =\frac{500}{250}=2$, och Poissonformeln ger $\frac{2^2·e^{-2}}{2!}\approx \mathrm{27,1}$ %, nästan samma som det exakta binomialsvaret.

Sammanträffanden

Poissonfördelningen förklarar varför ovanliga händelser ändå händer. Om något har chansen en på en miljon per dag och en miljon människor utsätts för det, är det väntade antalet en per dag, och chansen att det händer någon blir ungefär 63 %. Fler exempel på hur ofta till synes osannolika saker inträffar finns i sammanträffandekalkylatorn.

Grunderna i sannolikhetsläran finns i sannolikhetskalkylatorn. Alla kalkylatorer för slump och fördelningar finns bland kalkylatorerna för sannolikhet och kombinatorik och på matematiksidan.