Bayes sats – räkna ut betingad sannolikhet P(A | B)

Vad säger Bayes sats?

Bayes sats talar om hur en sannolikhet ska uppdateras när man får ny information. Man vet hur vanligt något är från början, och sedan observerar man ett tecken som brukar hänga ihop med det. Frågan är hur sannolikt det första är, givet att tecknet har dykt upp. Beteckningen $P\left(A\right|B)$ läses "sannolikheten för A givet B".

Satsen lyder:

$P\left(A\right|B)=\frac{P\left(B\right|A)·P(A)}{P\left(B\right)}$

Nämnaren, hur ofta B inträffar totalt, räknas ut med lagen om total sannolikhet. B kan inträffa både när A är sant och när A inte är sant:

$P\left(B\right)=P\left(B\right|A)·P(A)+P(B|Ā)·P(Ā)$

Här betyder Ā att A inte inträffar, och ∩ längre ned betyder att båda händelserna inträffar.

Härledning ur betingad sannolikhet

Betingad sannolikhet definieras som $P\left(A\right|B)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$: av alla fall där B inträffar, hur stor andel har också A? På samma sätt är $P\left(B\right|A)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(A\right)}$. Löser man ut sannolikheten för A och B ur den andra likheten får man $P\left(B\right|A)·P(A)$, och sätter man in det i den första får man Bayes sats. Satsen är alltså ingen ny princip, bara två sätt att skriva samma snitt. Om A och B är oberoende händelser blir $P\left(A\right|B)=P(A)$, och då ger B ingen information alls om A.

Exempel: ett test för en ovanlig egenskap

Ta ett hypotetiskt test för en egenskap som 1 % av befolkningen har. Testet ger positivt svar hos 95 % av dem som har egenskapen, och falskt positivt hos 5 % av dem som inte har den. Hur stor är chansen att en person med positivt svar verkligen har egenskapen?

Först räknas andelen positiva totalt: $\mathrm{0,01}·\mathrm{0,95}+\mathrm{0,99}·\mathrm{0,05}=\mathrm{0,059}$, alltså 5,9 %. Sedan Bayes sats: $\frac{\mathrm{0,95}·\mathrm{0,01}}{\mathrm{0,059}}$ ≈ 16,1 %. Trots ett test som verkar träffsäkert har bara ungefär var sjätte positiv person egenskapen.

Det blir tydligare i antal. Av 10 000 fall inträffar B i ungefär 590. Av dem är A sant i 95, alltså 16,1 %. Resten, 495, är falsklarm. De falska larmen är fler än de sanna, eftersom de friska är så många fler. Det positiva svaret har ändå höjt chansen kraftigt, från 1 % till 16,1 %, alltså med faktorn 16,1.

Basfrekvensen avgör

Samma test ger helt olika svar beroende på hur vanlig egenskapen är. Har 10 % egenskapen blir chansen efter ett positivt svar 67,86 %. Att bortse från hur vanligt något är från början kallas basfrekvensfelet, och det är ett av de vanligaste misstagen med betingade sannolikheter. Det förklarar varför man ofta gör ett andra, oberoende test innan man drar slutsatser.

Andelen falska larm spelar också stor roll. Sänks den från 5 % till 1 % i första exemplet stiger chansen till 48,97 %. För ovanliga egenskaper är det alltså viktigare att testet sällan larmar i onödan än att det hittar alla fall.

Exempel: spamfilter

Anta att 30 % av all e-post är skräppost, att ett visst ord förekommer i 90 % av skräpposten och i 2 % av den vanliga posten. Får du ett mejl med ordet är chansen att det är skräppost 95,07 %. Riktiga spamfilter kombinerar många ord på det här sättet, där varje ord uppdaterar sannolikheten lite till.

Vanliga fel

• Att blanda ihop $P\left(A\right|B)$ och $P\left(B\right|A)$. Att 95 % av de sjuka testar positivt betyder inte att 95 % av de positiva är sjuka.
• Att glömma basfrekvensen och bara titta på hur träffsäkert testet är.
• Att räkna nämnaren fel genom att bara ta med de sanna positiva. P(B) ska innehålla både sanna och falska positiva.
• Att anta att två test är oberoende när de mäter samma sak på samma sätt. Då ger det andra testet mindre ny information.

Typiska provuppgifter

Den vanligaste uppgiften ger tre tal: hur vanligt något är, hur ofta ett test slår ut när det finns, och hur ofta det slår ut när det inte finns. Lösningsgången är att rita ett träddiagram med två nivåer, multiplicera längs grenarna, lägga ihop de grenar där B inträffar och dela den gren där både A och B inträffar med summan.

Ett annat sätt, som ofta är lättare, är att tänka i antal. Utgå från 10 000 personer, räkna hur många som hamnar i varje ruta i en fyrfältstabell och läs av svaret. Kalkylatorn visar just den tabellen. En tredje typ ger en fyrfältstabell med verkliga antal och frågar efter en betingad sannolikhet, som då kan läsas av direkt.

Bayes och statistik

Inom statistiken finns en hel skola, bayesiansk statistik, som bygger på att uppdatera sannolikheter med Bayes sats. Den klassiska metoden med signifikanstest och konfidensintervall svarar på en annan fråga: hur troliga data är om en hypotes stämmer, inte hur trolig hypotesen är givet data. Att blanda ihop dem är samma fel som att blanda ihop $P\left(A\right|B)$ och $P\left(B\right|A)$.

Sannolikheter kan också uttryckas som odds, och Bayes sats blir då särskilt enkel: oddset efter är oddset före gånger en faktor. Omvandling mellan odds och sannolikhet finns i oddskalkylatorn, och procenträkning i procentkalkylatorn. Ett vardagligt exempel med betingad sannolikhet är frågan om tvillingar är enäggs eller tvåäggs, som tvillingkalkylatorn handlar om.

Grunderna finns i sannolikhetskalkylatorn. Alla kalkylatorer för sannolikhet finns bland kalkylatorerna för sannolikhet och kombinatorik och på matematiksidan.