Odds till sannolikhet – omvandla odds och räkna marginal

Två betydelser av ordet odds

Ordet odds används på två sätt, och det är lätt att blanda ihop dem. I matematiken är odds ett förhållande mellan chansen att något händer och chansen att det inte händer. En vanlig tärning ger oddset 1 : 5 för en sexa: ett gynnsamt utfall mot fem ogynnsamma. Sannolikheten är däremot 1 av 6, alltså 16,67 %. Odds och sannolikhet är olika sätt att uttrycka samma sak, men talen är inte desamma. Mer om förhållanden finns i förhållandekalkylatorn.

Inom spel betyder odds i stället hur mycket som betalas ut. Ett decimalodds på 2,50 betyder att en insats på 100 kr ger 250 kr tillbaka vid vinst, insatsen inräknad. Den här kalkylatorn hanterar båda betydelserna.

Från odds till sannolikhet

Sambanden mellan formaten är:

• Decimalodds $d$: sannolikheten är $\frac{1}{d}$.
• Bråkodds $\frac{a}{b}$, som anger vinst per insats: decimaloddset är $\frac{a}{b}+1$ och sannolikheten $\frac{b}{a+b}$.
• Amerikanska odds $+x$: decimaloddset är $1+\frac{x}{100}$. Amerikanska odds $-x$: decimaloddset är $1+\frac{100}{x}$.
• Matematiska odds $a:b$, chanser för mot chanser emot: sannolikheten är $\frac{a}{a+b}$.

Decimaloddset 2,50 motsvarar sannolikheten $\frac{1}{\mathrm{2,5}}$ = 40 %, bråkoddset 3/2 och det amerikanska oddset +150. Som matematiskt odds blir det 2 : 3. Bråkoddset 5/2 motsvarar decimaloddset 3,5 och sannolikheten 28,57 %. Det amerikanska oddset −150 betyder att man måste satsa 150 för att vinna 100, vilket ger decimaloddset 1,6667 och sannolikheten 60 %.

Sambandet $\frac{1}{d}$ kommer från att ett rättvist spel ska gå jämnt ut i längden. Satsar man 1 kr många gånger på något som inträffar med sannolikheten $p$, får man tillbaka $d$ kronor i andelen $p$ av gångerna. Det går jämnt upp när $p·d=1$.

Spelbolagets marginal

Om oddsen vore rättvisa skulle de inbyggda sannolikheterna för alla utfall i en match bli exakt 100 % tillsammans. I praktiken blir summan större, och det som överstiger 100 % är spelbolagets påslag. Ett exempel med en fotbollsmatch och oddsen 2,10, 3,40 och 3,50 för hemmavinst, oavgjort och bortavinst:

$\frac{1}{\mathrm{2,1}}+\frac{1}{\mathrm{3,4}}+\frac{1}{\mathrm{3,5}}\approx$ 105,6 %. Återbetalningen till spelarna är 1 delat med summan, 94,69 %, och marginalen är 5,31 %. Delar man varje inbyggd sannolikhet med summan får man en uppskattning utan marginal: hemmavinsten går från 47,62 % till 45,09 %, vilket motsvarar ett rättvist odds på 2,22.

I en match med två lika starka sidor och oddset 1,90 på båda blir summan 105,26 % och marginalen 5 %. Det rättvisa oddset hade varit 2,00. Marginalen syns alltså tydligast när man jämför oddsen med vad de skulle ha varit om summan av sannolikheterna var exakt 100 %. Olika spelbolag har olika stor marginal, och den kan också skilja sig mellan olika typer av spel hos samma bolag.

Därför förlorar spelaren i längden

Marginalen betyder att det förväntade värdet för spelaren är negativt. Med en återbetalning på 94,69 % förlorar man i genomsnitt drygt 5 kr per 100 kr som satsas, sett över många spel. Enskilda vinster ändrar inte det. Samma sak gäller lotterier, där återbetalningen ofta är betydligt lägre, något som lotterikalkylatorn visar. Att räkna om odds till sannolikhet är ett sätt att se hur mycket marginalen tar, inte ett sätt att slå spelbolaget, inte ett sätt att slå spelbolaget.

Kombinerade odds

Sätter man ihop flera oberoende utfall till ett enda spel multipliceras decimaloddsen, på samma sätt som sannolikheterna för oberoende händelser multipliceras. Tre utfall med oddset 2,00 var ger det sammanlagda oddset $2·2·2=8$, och sannolikheten $\frac{1}{8}$ = 12,5 % om oddsen vore rättvisa. Men marginalen multipliceras också. Är återbetalningen 95 % för varje del blir den för hela kombinationen ${\mathrm{0,95}}^3\approx 86$ %. Ju fler delar, desto större del av insatsen försvinner i genomsnitt.

Vanliga fel

• Att tro att odds är sannolikhet. Oddset 1 : 5 betyder inte 20 %, utan 1 av 6, alltså cirka 16,7 %.
• Att glömma insatsen. Decimalodds räknar in insatsen, bråkodds gör det inte. Bråkodds 3/2 är decimalodds 2,50, inte 1,50.
• Att läsa inbyggda sannolikheter som verkliga sannolikheter. De innehåller marginalen och summerar till mer än 100 %.
• Att tro att en lång rad förluster gör vinst mer sannolik nästa gång. Oberoende försök har inget minne.

Typiska uppgifter

I skoluppgifter förekommer odds oftast i den matematiska betydelsen. En typuppgift: "Oddset för att det regnar i morgon är 3 : 7. Hur stor är sannolikheten?" Svaret är $\frac{3}{3+7}=30$ %. Omvänt ger sannolikheten 20 % oddset $\mathrm{0,2}:\mathrm{0,8}=1:4$. Grunden, gynnsamma delat med möjliga, finns i sannolikhetskalkylatorn, och procenträkningen i procentkalkylatorn.

Med kortlekar och tärningar blir oddsen exakta. Chansen för en sexa på en tärning, som tärningskalkylatorn räknar ut, är 1 på 6, alltså oddset 1 : 5. Chansen att få ess när man drar ett kort är 4 på 52, oddset 1 : 12. Fler kortexempel finns i kortlekskalkylatorn.

Odds i Bayes sats

Odds har en praktisk egenskap: när ny information kommer kan oddset uppdateras genom att multipliceras med en faktor, som i Bayes sats. Därför används odds mycket i statistik och medicin, inte bara i spel. Hur ovanliga händelser jämförs med vardagliga risker visar älgkalkylatorn.

Alla kalkylatorer för slump och sannolikhet finns bland kalkylatorerna för sannolikhet och kombinatorik och på matematiksidan.