Polynomdivision

Polynomdivision är division mellan två polynom, precis som vanlig division mellan tal. Uttrycket x³ − 6x² + 11x − 6 delat med (x − 1) ger kvoten x² − 5x + 6 och resten 0 — vilket betyder att divisionen går jämnt ut.

Precis som med tal består svaret av en kvot och en rest. Blir resten noll är divisorn en faktor i polynomet, vilket är nyckeln till att faktorisera uttryck av högre grad än två. För andragradsuttryck räcker vanlig faktorisering, men från tredje graden och uppåt är polynomdivision oftast enda praktiska vägen.

Vid division med (x − r) räcker det att räkna med koefficienterna. Metoden fungerar så här:

• Skriv upp polynomets koefficienter i ordning, inklusive nollor för termer som saknas.
• Ta ned den första koefficienten oförändrad — den blir kvotens första koefficient.
• Multiplicera med r och addera till nästa koefficient. Upprepa hela vägen.
• Det sista talet är resten; övriga är kvotens koefficienter.
• Kvoten har alltid en grad lägre än det ursprungliga polynomet.

Restsatsen säger att resten vid division med (x − r) är lika med polynomets värde i punkten r. Faktorsatsen följer direkt: är värdet noll är resten noll, och då är (x − r) en faktor i polynomet.

1. Uppgiften är x³ − 6x² + 11x − 6 delat med (x − 1). Här är r lika med 1.
2. Koefficienterna är 1, −6, 11 och −6.
3. Ta ned första koefficienten: 1.
4. Multiplicera med r och addera: 1 · 1 + (−6) = −5.
5. Fortsätt: 1 · (−5) + 11 = 6. Och till sist: 1 · 6 + (−6) = 0.
6. Kvoten är x² − 5x + 6 och resten 0 — divisionen går jämnt ut.

Att resten blev noll betyder att (x − 1) är en faktor. Hela polynomet kan därmed skrivas som (x − 1)(x² − 5x + 6), och andragradsfaktorn faktoriseras vidare till (x − 2)(x − 3) med vanliga metoder. Polynomets tre nollställen är därmed 1, 2 och 3 — hittade utan att någon formel för tredjegradsekvationer behövdes.

Dividera x² + 3x + 5 med (x − 2). Koefficienterna är 1, 3 och 5. Syntetisk division ger 1, sedan 2 · 1 + 3 = 5, och till sist 2 · 5 + 5 = 15. Kvoten är x + 5 och resten 15.

Svaret skrivs som x + 5 med resten 15, eller som x + 5 + 15/(x − 2). Restsatsen bekräftar: sätter du in x = 2 i det ursprungliga polynomet får du 4 + 6 + 5 = 15 — exakt resten. Den kontrollen är snabbare än att räkna om hela divisionen.

• Att glömma skriva ut nollor för termer som saknas — x³ + 2 har koefficienterna 1, 0, 0 och 2.
• Att använda fel tecken på r: vid division med (x + 3) är r lika med −3, inte 3.
• Att blanda ihop kvot och rest — det sista talet i uppställningen är alltid resten.
• Att tro att kvoten har samma grad som ursprungspolynomet; den har alltid en grad lägre.
• Att använda syntetisk division vid division med uttryck av högre grad än ett, vilket kräver lång division.
• Att hoppa över restsatskontrollen, som avslöjar räknefel på några sekunder.

Polynomdivision hör till gymnasiets Matematik 4, där den används tillsammans med faktorsatsen för att lösa ekvationer av högre grad. Metoden förutsätter säker hantering av potenser och av faktorisering från Matematik 2.

Standarduppgiften är att lösa en tredjegradsekvation: gissa en rot bland delarna till konstanttermen, dividera bort motsvarande faktor, och lös den kvarvarande andragradsekvationen med pq-formeln. Polynomdivisionen är mellansteget som gör hela lösningen möjlig.

Vanliga skolräknare klarar inte symbolisk polynomdivision. Vad de däremot kan är att beräkna polynomets värde i en punkt, vilket enligt restsatsen ger resten direkt — ett snabbt sätt att testa om ett tal är en rot innan divisionen påbörjas. Testa gärna alla delare till konstanttermen; en heltalsrot finns alltid bland dem om den existerar.

CAS-räknare och datorprogram har kommandon för både division och faktorisering. På prov krävs dock att uppställningen redovisas, och syntetisk division är då den snabbaste metoden att skriva ner för hand.

Främst som verktyg inom matematiken själv: för att lösa ekvationer av högre grad, förenkla rationella uttryck inför derivering och hitta asymptoter till kurvor. I signalbehandling och reglerteknik används polynomdivision för att analysera överföringsfunktioner, där kvoten beskriver systemets beteende och resten avvikelsen.

Inom felkorrigerande koder, som används i QR-koder och lagring, bygger hela metoden på polynomdivision med rest. Fler algebraverktyg samlas i vår hubb för algebra och ekvationer, och hela ämnesöversikten finns i matematikhubben.

Syntetisk division är en förkortad uppställning som bara fungerar när divisorn är av formen (x − r). Den räknar enbart med koefficienter och går på några rader. Lång division fungerar för divisorer av vilken grad som helst men kräver betydligt fler steg.

Eftersom faktorsatsen alltid handlar om förstagradsfaktorer täcker syntetisk division de flesta skoluppgifter. Behöver du dividera med ett andragradsuttryck är lång division vägen — metoden liknar då vanlig liggande stolen, fast med x-termer i stället för siffror. Principen är densamma: dividera högsta termen, multiplicera tillbaka, subtrahera och upprepa.